Dane:

$m=0,2\mathrm{kg}$

▶ Z wykresu odczytujemy:

$F=0,4\mathrm{N}$

$x=1\mathrm{cm}=0,01\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$,

$\mathbf{a})$

Szukane:

$T_1=?$

$T_2=?$

Rozwiązanie:

Najpierw korzystamy ze wzoru (1) podanego w zadaniu:

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T_1$ - okres drgań wahadła obliczony z pierwszego wzoru,

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa ciężarka zawieszonego na sprężynie,

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Wiemy, że:

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem: $F=kx$ gdzie:  $F$ - wartość siły sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości układu,  $x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Współczynnik sprężystości sprężyny obliczymy zatem jako:

$k=\frac{F}{x}$

gdzie:

$F$ - wartość siły powodującej wydłużenie sprężyny,

$x$ - wydłużenie sprężyny.

Wstawiamy dane liczbowe odczytane z wykresu:

$k=\frac{0,4\mathrm{N}}{0,01\mathrm{m}}=40\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_1=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{0,2\mathrm{kg}}{40\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}}=6,28\cdot \sqrt{0,005\frac{\mathrm{kg}}{\frac{\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{m}}}}=$

$=6,28\cdot \sqrt{0,005{\mathrm{s}}^2}=6,28\cdot 0,0707\mathrm{s}=$

$=0,443996\mathrm{s}\approx 0,444\mathrm{s}$

Następnie korzystamy ze wzoru (2):

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{x_0}{g}}$

gdzie:

$T_2$ - okres drgań wahadła obliczony z drugiego wzoru,

$x_0$ - wydłużenie statyczne sprężyny,

$g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

Wydłużenie statyczne sprężyny to wydłużenie, w którym sprężyna osiąga równowagę po zawieszeniu ciężarka. Znamy masę ciężarka, a zatem wartość siły, jaką działa on na sprężynę, obliczymy, korzystając ze wzoru na wartość siły ciężkości:

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wstawiamy dane liczbowe:

$F_g=0,2\mathrm{kg}\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=2\mathrm{N}$

Wiemy zatem, że rozciągnięcie statyczne sprężyny to rozciągnięcie pod wpływem działania siły o wartości $2\mathrm{N}$. Odczytujemy więc z wykresu, jakiemu wydłużeniu sprężyny odpowiada wartość $2\mathrm{N}$:

$x_0=5\mathrm{cm}=0,05\mathrm{m}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_2=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{0,05\mathrm{m}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}\approx 6,28\cdot \sqrt{0,005{\mathrm{s}}^2}\approx$

$\approx 6,28\cdot 0,07071\mathrm{s}=0,44406\mathrm{s}\approx$

$\approx 0,444\mathrm{s}$

Odpowiedź: Okres drgań wahadła wynosi około $0,444\mathrm{s}$, bez względu na wzór użyty do obliczeń.

 

$\mathbf{b})$

Otrzymane wyniki są takie same w przybliżeniu do trzeciej cyfry znaczącej. Naszym zadaniem jest wykazanie równoważności podanych wzorów.

Pierwszy wzór ma postać:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła,

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa ciężarka zawieszonego na sprężynie,

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Przekształcimy go w taki sposób, aby otrzymać wzór (2). Wiemy, że siła sprężystości sprężyny równoważy siłę ciężkości ciężarka, kiedy znajduje się on w położeniu równowagi, zatem możemy zapisać:

$F_x=F_g$

gdzie:

$F_x$ - wartość siły sprężystości,

$F_g$ - wartość siły ciężkości.

Wartość siły ciężkości wyrazimy jako:

$F_g=mg$

gdzie:

$m$ - masa ciężarka,

$g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

Wartość siły sprężystości zapiszemy jako:

$F_x=k{x}_0$

gdzie:

$x_0$ - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi po zawieszeniu ciężarka.

Korzystając, z powyższych zależności wyznaczamy wzór na współczynnik sprężystości sprężyny:

$F_x=F_g$

$k{x}_0=mg|:x_0$

$k=\frac{mg}{x_0}$

Wstawiamy wyrażenie do wzoru na okres drgań:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{x_0}}}$

$T=2\pi \sqrt{\cancel{m}\cdot \frac{x_0}{\cancel{m}g}}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{x_0}{g}}$

Uzyskaliśmy więc wzór (2), czyli udowodniliśmy równoważność wzorów.