Dane:

$D=0,5\text{m}$

$h_b=0,9\text{m}$

$d=1,2\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=1200\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$h=190\text{cm}=1,9\text{m}$

$l=4,2\text{m}$

Rozwiązując, to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$a=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie przyspieszenia liniowego beczki toczącej się po szynach. 

Znamy długość szyn, po których poruszała się tocząca beczka.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

Wiemy również, że początkowa jej szybkość była zerowa. Oznacza to, że drogę przebytą przez beczkę ruchem postępowym możemy przedstawić wzorem:

$l=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$l$ - długość szyn - odpowiada drodze przebytej przez beczkę, 

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego beczki, 

$t$ - czas ruchu beczki. 

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zgodnie z definicją przyspieszenia wiemy, że dla tego przypadku może zapisać równanie:

$a=\frac{v}{t}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości beczki na dole pochylni utworzonej z szyn (odpowiada zmianie szybkości beczki w czasie całego ruchu).

Oznacza to, że czas ruchu beczki możemy przedstawić wzorem:

$a=\frac{v}{t}|\cdot t$

$at=v|:a$

$t=\frac{v}{a}$

Korzystając z zadania 9.2, wiemy, że wartość prędkości beczki u podstawy pochylni ma postać:

$v=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość naczepy (pochylni). 

Z powyższych zależności wynika, że przyspieszenie liniowe toczącej się po szynach beczki wynosi:

$l=\frac{1}{2}a{t}^2$

$l=\frac{1}{2}a{\left(\frac{v}{a}\right)}^2$

$l=\frac{1}{2}\cancel{a}\frac{v^2}{a^{\cancel{2}}}$

$l=\frac{v^2}{2a}|\cdot a$

$al=\frac{{\left(\sqrt{\frac{4}{3}gh}\right)}^2}{2}|:l$

$a=\frac{\frac{4}{3}gh}{2l}$

$a=\frac{4gh}{3\cdot 2l}$

$a=\frac{2gh}{3l}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,9\cancel{\text{m}}}{3\cdot 4,2\cancel{\text{m}}}=\frac{38\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{12,6}\approx 3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenie liniowego beczki wynosi około $3\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.