$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Ciała dochodzą do równowagi termodynamicznej po czasie 6 minut - oba wykresy wtedy zrównują się. Należy odczytać temperaturę jaką wskazuje wykres.

 Odpowiedź: 

Temperatura końcowa ciał w stanie równowagi termodynamicznej wynosi: $T_{\text{k}}={48}^{\circ }\text{C}=321\text{K}$  

$\mathbf{b})$  

Dane:

$T_{1\text{p}}=88^{\circ }\text{C}$

$T_{2\text{p}}=20^{\circ }\text{C}$

$T_{\text{k}}=48^{\circ }\text{C}$

Szukane:

$\frac{m_{\text{1w}}}{m_{\text{2w}}}=\text{?}$

Rozwiązanie: 

Naszym celem jest wyznaczenie ilorazu mas wód w obu naczyniach. Zapisujemy równanie bilansu cieplnego (pomijamy ciepła jakie pobierały naczynia - uwzględniamy tylko wymianę ciepłą między wodami).

$Q_{\text{oddane}}=Q_{\text{pobrane}}$

gdzie:

$Q_{\text{oddane}}$ - ciepło oddane przez gorącą wodę,

$Q_{\text{pobrane}}$ - ciepło pobrane przez zimną wodę.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem: $Q=mc\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała,  $c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

W naszym przypadku zapisujemy:

▶ dla wody zimnej w drugim naczyniu:

$Q_{\text{pobrane}}=m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_2$

gdzie:

$m_{2\text{w}}$ - masa wody zimnej,

$c_{\text{w}}$ - ciepło właściwe wody,

$\Delta T_2$ - zmiana temperatury wody zimnej.

▶ dla wody gorącej w pierwszym naczyniu:

$Q_{\text{oddane}}=m_{1\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_1$

gdzie:

$m_{1\text{w}}$ - masa wody gorącej,

$\Delta T_1$ - zmiana temperatury wody gorącej

Możemy zapisać, że:

$m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_2=m_{1\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_1|:c_{\text{w}}$

$m_{2\text{w}}\Delta T_2=m_{1\text{w}}\Delta T_1|:m_{2\text{w}}$

$\Delta T_2=\frac{m_{1\text{w}}}{m_{\text{2w}}}\Delta T_1|:\Delta T_1$

$\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}=\frac{m_{1\text{w}}}{m_{\text{2w}}}$

$\frac{m_{1\text{w}}}{m_{\text{2w}}}=\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}$

Teraz wyrażamy zmiany temperatur dla obu objętości wody. Woda zimna ogrzewa się do temperatury końcowej, a woda gorąca ochładza do tej samej temperatury końcowej.

$\Delta T_1=T_{\text{1p}}-T_{\text{k}}$ oraz $\Delta T_2=T_{\text{k}}-T_{\text{2p}}$

gdzie:

$T_{\text{k}}$ - ustalona temperatura końcowa wody,

$T_{1\text{p}}$ - temperatura początkowa wody gorącej,

$T_{2\text{p}}$ - temperatura początkowa wody zimnej.

Zatem:

$\frac{m_{1\text{w}}}{m_{\text{2w}}}=\frac{T_{\text{k}}-T_{\text{2p}}}{T_{\text{1p}}-T_{\text{k}}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru:

$\frac{m_{1\text{w}}}{m_{\text{2w}}}=\frac{48^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}{88^{\circ }\text{C}-48^{\circ }\text{C}}=\frac{28^{\circ }\text{C}}{40^{\circ }\text{C}}=0,7$

$\mathbf{c})$ 

Dane:

$T_{1\text{p}}=88^{\circ }\text{C}=361^{\circ }\text{C}$

$T_{\text{2p}}=20^{\circ }\text{C}=293^{\circ }\text{C}$

$T_{\text{k}}=48^{\circ }\text{C}=321^{\circ }\text{C}$

$m_{\text{1w}}=150\text{g}=0,15\text{kg}$  

$m_{\text{2w}}=199\text{g}=0,199\text{kg}$  

$m_{\text{1n}}=90\text{g}=0,09\text{kg}$  

$m_{\text{2n}}=200\text{g}=0,2\text{kg}$  

$c_{\text{Al}}=900\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ ciepło właściwe wody: $c_w=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$.

Szukane:

$Q_{\text{pobrane}}=\text{?}$

$Q_{\text{oddane}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie ciepła pobranego i oddanego przez naczynie z wodą zimną i naczynie z wodą ciepłą. Z równania bilansu cieplnego wynika, że wartości tych ciepeł będą sobie równe.

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{oddane}}$

gdzie:

$Q_{\text{oddane}}$ - ciepło oddane przez naczynie z gorącą wodą,

$Q_{\text{pobrane}}$ - ciepło pobrane przez naczynie z zimną wodą.

Rozpatrujemy naczynie z zimną wodą. Początkowa temperatura naczynia i wody jest taka sama. Następnie zarówno naczynie jak i woda w nim ogrzewają się do temperatury końcowej. Wyrażamy ciepło pobrane jako sumę ciepła pobranego przez naczynie i ciepła pobranego przez wodę.

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{2\text{n}}+Q_{2\text{w}}$

gdzie:

$Q_{\text{2n}}$ - ciepło pobrane przez aluminiowe naczynie,

$Q_{2\text{w}}$ - ciepło pobrane przez wodę.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem: $Q=mc\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała,  $c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

Wyrażamy odpowiednie ciepła pobrane:

$Q_{\text{2n}}=m_{2\text{n}}{c}_{\text{Al}}\Delta T_2$

gdzie:

$m_{\text{2n}}$ - masa naczynia,

$c_{\text{Al}}$ - ciepło właściwe aluminium,

$\Delta T_2$ - zmiana temperatury naczynia z zimną wodą.

$Q_{\text{2w}}=m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_2$

gdzie:

$m_{\text{2w}}$ - masa zimnej wody,

$c_{\text{w}}$ - ciepło właściwe wody.

Teraz zapisujemy całkowite ciepło pobrane:

$Q_{\text{pobrane}}=m_{2\text{n}}{c}_{\text{Al}}\Delta T_2+m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}}\Delta T_2$

Zarówno naczynie jaki i woda ogrzewają się o taką samą temperaturę.

$Q_{\text{pobrane}}=(m_{2\text{n}}{c}_{\text{Al}}+m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}})\Delta T_2$

Zmianę temperatury wyrazimy jako:

$\Delta T_2=T_{\text{k}}-T_{\text{2p}}$

gdzie:

$T_{\text{k}}$ - ustalona temperatura końcowa,

$T_{\text{2p}}$ - temperatura początkowa naczynia i wody.

Zatem:

$Q_{\text{pobrane}}=(m_{2\text{n}}{c}_{\text{Al}}+m_{2\text{w}}{c}_{\text{w}})\left(T_{\text{k}}-T_{\text{2p}}\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru:

$Q_{\text{pobrane}}=\left(0,2\mathrm{kg}\cdot 900\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K}}+0,199\mathrm{kg}\cdot 4200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K}}\right)\left(321\mathrm{K}-293\mathrm{K}\right)=$

$=\left(180\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+835,8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right)\cdot 28\mathrm{K}=1015,8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\cdot 28\mathrm{K}=28442,4\mathrm{J}$

Ciepło oddane będzie równe ciepłu pobranemu.

$Q_{\text{oddane}}=28442,4\mathrm{J}$

Odpowiedź: Ciepło oddane przez małe naczynie i gorącą wodę oraz ciepło pobrane przez duże naczynie i chłodną wodę są równe $28442,4\mathrm{J}$.