1. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ średnia wartość prędkości kątowej dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy przedstawić jako stosunek całkowitego kąta zakreślonego przez szlifierkę kątową do czasu trwania ruchu:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{\alpha }{t}$

gdzie:

${\omega }_{\text{sˊr}}$ - wartość średniej prędkości kątowej,

$\alpha$ - całkowity kąt zakreślony przez szlifierkę w danym czasie,

$t$ - całkowity czas ruchu. 

 Szlifierka porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej, czyli kąt przez niego zakreślony ma postać:

$\alpha =\frac{1}{2}\epsilon t^2$

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego.

Korzystając z definicji przyspieszenia kątowego otrzymamy, że:

$\epsilon =\frac{\omega }{t}$

gdzie:

$\omega$ - jest końcową szybkością kątową szlifierki po czasie $2\text{s}$, która odpowiada całkowitej zmianie szybkości tarczy szlifierki. 

Nie znamy szybkości końcowej, ale wiemy ile obrotów na minutę wykonuje tarcza, co oznacza, że znamy jej częstotliwość końcową:

$f=13300\frac{\text{obr}}{\text{min}}=13300\cdot \frac{1}{60\text{s}}=\frac{665}{3}\frac{1}{\text{s}}$

Związek pomiędzy szybkością kątową, a częstotliwością jest następujący:

$\omega =2\pi f$

Wówczas:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{\alpha }{t}$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{\frac{1}{2}\epsilon t^{\bcancel{2}}}{\bcancel{t}}$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{1}{2}\epsilon t$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\omega }{\bcancel{t}}\cdot \bcancel{t}$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{1}{2}\omega$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi f$

${\omega }_{\text{sˊr}}=\pi f$

Stąd:

${\omega }_{\text{sˊr}}=3,14\cdot \frac{665}{3}\frac{1}{\text{s}}\approx 696\frac{1}{\text{s}}$

Średnia wartość prędkości kątowej tarczy w czasie pierwszych $2\text{s}$ ruchu wynosi około $696\frac{\text{rad}}{\text{s}}$, a nie $41762\frac{\text{rad}}{\text{s}}$.

 

2. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ przyspieszenie kątowe przy ruchu jednostajnie przyspieszonym ma wartość stałą dla całej sztywnej tarczy i z definicji przyspieszenia wiemy, że:

$\epsilon =\frac{\omega }{t}$

$\epsilon =\frac{2\pi f}{t}$

Stąd:

$\epsilon =\frac{\cancel{2}\cdot 3,14\cdot \frac{665}{3}\frac{1}{\text{s}}}{\cancel{2}\text{s}}\approx 696\frac{1}{{\text{s}}^2}$

 

3. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ wartość przyspieszenia kątowego nie zależy od odległości od osi. Wszystkie punkty tarczy mają to samo przyspieszenie kątowe.

 

4. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ przyspieszenie liniowe, w przeciwieństwie do przyspieszenia kątowe, zależy od odległości punktu od osi obrotu. Wiemy, że:

$a=\epsilon r$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się punkt na tarczy - odpowiada odległości punktu od osi obrotu. 

Promień tarczy będzie równy połowie średnicy, czyli $r=\frac{1}{2}\cdot 115\text{mm}=57,5\text{mm}=0,0575\text{m}$. Przyspieszenie liniowe punktu na obwodzie tarczy ma zatem postać:

$a_1=696\frac{1}{{\text{s}}^2}\cdot 0,0575\text{m}=40,02\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 40\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Punkt, który zatacza $2$ razy mniejszy okrąg, będzie miał $2$ razy mniejsza wartość przyspieszenia liniowego, ponieważ długość promień i wartość przyspieszenia liniowego są do siebie wielkościami wprost proporcjonalnymi. 

 

5. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ początkowo tarcza porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli liczbę obrotów którą zakreśliła w przeciągu pierwszych dwóch sekund przedstawimy, jako stosunek całkowitej wielkości kąta zakreślonego przez tarczę do miary kąta pełnego, czyli $2\pi$:

$n_1=\frac{\alpha }{2\pi }$

$n_1=\frac{\frac{1}{2}\epsilon t^2}{2\pi }$

$n_1=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sout{2\pi }f}{\bcancel{t}}\cdot t^{\bcancel{2}}}{\sout{2\pi }}$

$n_1=\frac{1}{2}ft$

W czasie każdych kolejnych dwóch sekund tarcza porusza się ruchem jednostajnym, czyli ma stałą częstotliwość. Korzystając z faktu, że częstotliwość mówi nam ile obrotów zostaje wykonanych w danym czasie otrzymamy, że:

$\frac{n_2}{t}=f|\cdot t$

$n_2=ft|\cdot \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}{n}_2=\frac{1}{2}ft$

$\frac{1}{2}{n}_2=n_1$