Dane:

$V=1\text{l}=1{\text{dm}}^3=0,001{\mathrm{m}}^3$  

$t_1=20^{\circ }\mathrm{C}$

$T_1=\left(20+273\right)\text{K}=293\mathrm{K}$

$t_2=0^{\circ }\mathrm{C}$

$T_2=\left(0+273\right)\text{K}=273\mathrm{K}$

$p_{atm}=1013,25\mathrm{hPa}=101325\mathrm{Pa}$  

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$Q_1=?$

$Q_2=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ilości ciepła oddanego w dwóch przypadkach, gdy butelka jest szklana oraz gdy jest plastikowa. Różnica między szklaną i plastikową butelką polega na tym, że w butelce szklanej objętość gazu będzie taka sama bez względu na jego temperaturę, więc będziemy mieć do czynienia z przemianą izochoryczną, natomiast butelka plastikowa ulegnie odkształceniu, czyli objętość gazu się zmieni (stałe pozostanie ciśnienie). W obu przypadkach butelki są zamknięte, więc liczba moli gazu się nie zmienia. Liczbę moli możemy wyznaczyć korzystając z równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie,

$V$ - objętość,

$n$ - liczba moli,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura.

Liczbę moli gazu wyrazimy więc wzorem:

 $p_{}V=nRT|:RT$

$n=\frac{p_{}V}{RT}$

Jak już wspomnieliśmy, do powyższego równania możemy wstawić parametry gazu z dowolnej sytuacji, ponieważ liczba moli jest w naszym przypadku zawsze taka sama. Wybieramy jednak tę sytuację, w której wartości wszystkich parametrów gazu są nam znane, czyli stan początkowy:

$n=\frac{p_{atm}V}{R{T}_1}$

gdzie:

$p_{atm}$ - ciśnienie atmosferyczne,

$V$ - początkowa objętość powietrza,

$T_1$ - początkowa temperatura powietrza.

Powyższego wzoru będziemy używać w dalszej części zadania, do wyrażenia liczby moli gazu.

▶ Butelka szklana

W szklanej butelce objętość jest stała, korzystamy więc ze wzoru:

$Q_1=n{C}_V\Delta T$

gdzie:

$Q_1$ - ciepło oddane przez gaz w szklanej butelce,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Mamy do czynienia z powietrzem, czyli gazem dwuatomowym, więc ciepło molowe wyrazimy jako:

$C_V=\frac{5}{2}R$

Zmianę temperatury zapiszemy w postaci:

$\Delta T=T_1-T_2$

gdzie:

$T_1$ - temperatura ogrzanego gazu,

$T_2$ - temperatura gazu po ochłodzeniu.

Zatem:

$Q_1=n{C}_V\Delta T$

$Q_1=\frac{5}{2}Rn\Delta T$

$Q_1=\frac{5}{2}Rn\left(T_1-T_2\right)$

Wstawiamy wzór na liczbę moli:

$Q_1=\frac{5}{2}\cancel{R}\cdot \frac{p_{atm}V}{\cancel{R}{T}_1}\cdot \left(T_1-T_2\right)$

$Q_1=\frac{5p_{atm}V}{2T_1}\left(T_1-T_2\right)$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$Q_1=\frac{5\cdot 101325\mathrm{Pa}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3}{2\cdot 293\mathrm{K}}\cdot \left(293\mathrm{K}-273\mathrm{K}\right)=$

$=\frac{506625\frac{\mathrm{N}}{\cancel{{\mathrm{m}}^2}}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^{\cancel{3}}}{586\cancel{\mathrm{K}}}\cdot 20\cancel{\mathrm{K}}\approx$

$\approx 864,5\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,001\mathrm{m}\cdot 20\approx$

$\approx 17,3\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}=17,3\mathrm{J}$

▶  Butelka plastikowa

W plastikowej butelce ciśnienie jest stałe, więc skorzystamy ze wzoru:

$Q_2=n{C}_p\Delta T$

gdzie:

$Q_2$ - ciepło oddane przez gaz w plastikowej butelce,

$C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu.

Mamy do czynienia z powietrzem, czyli gazem dwuatomowym, więc ciepło molowe wyrazimy jako:

$C_p=\frac{7}{2}R$

Zatem:

$Q_2=n{C}_p\Delta T$

$Q_2=\frac{7}{2}Rn\left(T_1-T_2\right)$

Wstawiamy wzór na liczbę moli:

$Q_2=\frac{7}{2}\cancel{R}\cdot \frac{p_{atm}V}{\cancel{R}{T}_1}\cdot \left(T_1-T_2\right)$

$Q_2=\frac{7p_{atm}V}{2T_1}\left(T_1-T_2\right)$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$Q_2=\frac{7\cdot 101325\mathrm{Pa}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3}{2\cdot 293\mathrm{K}}\cdot \left(293\mathrm{K}-273\mathrm{K}\right)=$

$=\frac{709275\frac{\mathrm{N}}{\cancel{{\mathrm{m}}^2}}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^{\cancel{3}}}{586\cancel{\mathrm{K}}}\cdot 20\cancel{\mathrm{K}}\approx$

$\approx 1210\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,001\mathrm{m}\cdot 20=$

$=24,2\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}=24,2\mathrm{J}$

Odpowiedź: Powietrze w szklanej butelce oddaje około $17,3\mathrm{J}$ ciepła do otoczenia, a powietrze w butelce plastikowej około $24,2\mathrm{J}$. 

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$W=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonanej przez powietrze podczas zgniatania butelki. W przemianie izochorycznej praca nie jest wykonywana, dlatego rozważamy wyłącznie przemianę izobaryczną dla plastikowej butelki. Pracę możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

$W=p\Delta V$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez powietrze przy zgniataniu butelki,

$p$ - ciśnienie powietrza,

$\Delta V$ - zmiana objętości powietrza.

Zmianę objętości wyrazimy jako:

$\Delta V=V_2-V_1$

gdzie:

$V_1$ - początkowa objętość powietrza,

$V_2$ - końcowa objętość powietrza.

Zatem:

$W=p\Delta V$

$W=p\left(V_2-V_1\right)$

$W=p{V}_2-p{V}_1$

Z równania Clapeyrona wynika, że:

$p{V}_2=nR{T}_2$

gdzie:

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T_2$ - temperatura powietrza po ochłodzeniu.

Oraz:

$p{V}_1=nR{T}_1$

gdzie:

$T_1$ - początkowa temperatura powietrza.

Wstawiamy równania do wzoru na pracę:

$W=p{V}_2-p{V}_1$

$W=nR{T}_2-nR{T}_1$

$W=nR\left(T_2-T_1\right)$

Korzystając z poprzedniego podpunktu wiemy, że liczbę moli możemy wyrazić za pomocą wzoru:

$n=\frac{p_{atm}V}{R{T}_1}$ 

Zatem:

$W=\frac{p_{atm}V}{\cancel{R}{T}_1}\cdot \cancel{R}\left(T_2-T_1\right)$

$W=\frac{p_{atm}V}{T_1}\left(T_2-T_1\right)$

Wstawiamy dane liczbowe:

$W=\frac{101325\mathrm{Pa}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3}{293\mathrm{K}}\cdot \left(293\mathrm{K}-273\mathrm{K}\right)=$

$=\frac{101325\frac{\mathrm{N}}{\cancel{{\mathrm{m}}^2}}\cdot 0,001{\mathrm{m}}^{\cancel{3}}}{293\cancel{\mathrm{K}}}\cdot 20\cancel{\mathrm{K}}\approx$

$\approx 345,8\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,001\mathrm{m}\cdot 20=$

$=6,916\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\approx 6,9\mathrm{J}$

Odpowiedź: Praca wykonana przez powietrze atmosferyczne podczas zgniatania butelki wynosiła około $6,9\mathrm{J}$.