Dane:

$A=4\text{cm}=0,04\text{m}$  

$S=1,2{\text{cm}}^2=1,2\cdot {10}^{-4}{\text{m}}^2$  

$m=9\text{g}=9\cdot {10}^{-3}\text{kg}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$,

▶ gęstość wody: $d_w=1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$.

 

$\mathrm{3.1.}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest narysowanie sił działających na spoczywający w wodzie spławik. Na spławik spoczywający w wodzie działa siła ciężkości oraz siła wyporu. Wykonujemy rysunek i zaznaczamy te siły:

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości działająca na spławik,

${\vec{F}}_w$ - siła wyporu działająca na spławik.

 

$\mathrm{3.2.}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wykazanie, że ruch spławika jest ruchem harmonicznym, a siła wypadkowa wprawiająca spławik w drgania ma postać $F=-kx$, gdzie $k=dgS$. Z treści zadania dowiadujemy się, że spławik zaczął drgać po szarpnięciu przez rybę. Gdy spławik drga, siła wyporu działająca na spławik będzie się zmieniać. Siła wyporu jest skierowana przeciwnie do siły ciężaru oraz jej wartość wzrasta wraz z zanurzeniem, to będzie ona wypychała spławik do góry. Wywnioskować z tego możemy, że to właśnie siła wyporu będzie odpowiadała za ruch harmoniczny spławika.

SIŁA WYPORU Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: $F_w=dgV$  gdzie:  $F_w$ - wartość siły wyporu, $d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,   $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,   $V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Objętość wypartej cieczy odpowiada objętości zanurzonej części spławika. Wiemy, że jego pole przekroju poprzecznego spławika wynosi $S$. Gdy spławik wynurzy się o $x$, jego zanurzenie maleje. Zatem zmiana objętości wypartej wody wynosi:

$V=-Sx$  

gdzie:

$V$ - zmiana objętości wypartej wody,

$S$ - przekrój poprzeczny spławika,

$x$ - wynurzenie spławika ponad powierzchnię wody.

Siła powodująca ruch harmoniczny spławika jest siłą wyporu:

$F=F_w$  

gdzie:

$F$ - wartość siły powodującej ruch harmoniczny,

$F_w$ - wartość siły wyporu.

Wówczas wartość siły powodującej ruch harmoniczny spławika ma postać:

$F=dgV$  

gdzie:

$d$ - gęstość wody.

Podstawiając $V=-Sx$:

$F=-dgSx$  

Jeżeli:

$k=dgS$  

To otrzymujemy wówczas, że:

$F=-kx$  

 Odpowiedź: 

Ruch spławika jest ruchem harmonicznym, siłą wprawiającą spławik w drgania jest siła wyporu. Wartość tej siły ma postać $F=-kx$, gdzie $k=dgS$.

 

$\mathrm{3.3.}$  

Szukane:

$f=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie częstotliwości drgań własnych spławika. Jeżeli spławik potraktujemy jak ciało zawieszone na sprężynie, to jego okres drgań wyznaczymy, korzystając ze wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego.

MASA NA SPRĘŻYNIE - OKRES DRGAŃ W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ gdzie: $T$ - okres drgań,  $\pi$ - liczba π, $m$ - masa zwieszona na sprężynie,  $k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że współczynnik sprężystości sprężyny wynosi:

$k=dgS$  

gdzie:

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny,

$d$ - gęstość wody,

$S$ - przekrój poprzeczny spławika.

Zatem okres drgań spławika zapiszemy:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{dgS}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań spławika,

$m$ - masa spławika.

CZĘSTOTLIWOŚĆ A OKRES Częstotliwości możemy wyrazić jako odwrotność okresu: $f=\frac{1}{T}$ gdzie: $f$ - częstotliwość,  $T$ - okres.

Wówczas częstotliwość drgań własnych spławika będzie miała wartość:

$f=\frac{1}{T}$  

gdzie:

$f$ - częstotliwość drgań własnych spławika.

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{m}{dgS}}}$  

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{dgS}{m}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{1}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,2\cdot {10}^{-4}{\text{m}}^2}{9\cdot {10}^{-3}\text{kg}}}=$  

$=\frac{1}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{11,772\cdot {10}^{-1}\frac{\text{kg}}{{\text{s}}^2}}{0,009\text{kg}}}=\frac{1}{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{1,1772\frac{\cancel{\text{kg}}}{{\text{s}}^2}}{0,009\cancel{\text{kg}}}}\approx$  

$\approx \frac{1}{2\pi }\cdot \sqrt{130,8\frac{1}{{\text{s}}^2}}\approx 0,159\cdot 11,437\frac{1}{\text{s}}=$  

$\approx 1,8\text{Hz}$  

Odpowiedź: Częstotliwość drgań własnych spławika wynosi około $1,8\text{Hz}$.