Komentarz nauczyciela — nie jest on częścią rozwiązania zadania!
Radian określa nam, że działamy na mierze łukowej, czyli stosunku długości łuku do długości promienia. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że możemy zapisać: ω=4srad=4s1.
Dane:
m=4kg
l=0,7m
ω1=4srad=4s1
r1=1m
Im=1,1kg⋅m2
a)
Odpowiedź:
Zastosowana przez zawodnika technika zwiększania prędkości kątowej wykorzystuje zasadę zachowania momentu pędu.
b)
Uzasadnienie:
Naszym zadaniem jest wyznaczenie zależności prędkości kątowej kuli od promienia okręgu.
MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY
Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:
I=mr2
gdzie:
I - moment bezwładności punktu materialnego,
m - masa ciała,
r - odległość ciała od osi obrotu.
Początkowy moment bezwładności młota ma postać:
I0=mr12
gdzie:
I0 - początkowy moment bezwładności młota,
r1 - początkowa odległość metalowej kuli od środka ciężkości, czyli od osi obrotu.
Natomiast moment bezwładności po zmniejszeniu odległości ma postać:
I=mr22
gdzie:
r2 - zmniejszona odległości kuli od osi obrotu.
WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU
Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:
L=Iω
gdzie:
L - wartość momentu pędu,
I - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,
ω - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.
Początkowy moment pędu miotacza ma postać:
Lm.0=Imω1
gdzie:
Lm.0 - początkowy moment pędu miotacza,
Im - moment pędu miotacza,
ω1 - początkowa szybkość kątowa.
Początkowy moment pędu młota ma postać:
L0=I0ω1
L0=mr12ω1
Moment pędu miotacza po zmniejszeniu odległości kuli będzie miał postać:
Lm=Imω
gdzie:
ω - szybkość kątowa miotacza wraz z kulą (zależna od odległości kuli od miotacza).
Zatem moment pędu młota będzie miał postać:
L=Iω
L=mr22ω
Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:
Lm+L=Lm.0+L0
Imω+mr22ω=Imω1+mr12ω1
(Im+mr22)ω=(Im+mr12)ω1∣:(Im+mr22)
ω=Im+mr22Im+mr12ω1
Wiemy, z treści zadania, że:
r2=r1−x
Wówczas:
ω=Im+m(r1−x)2Im+mr12ω1
SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA
Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem:
ω=rv
gdzie:
ω - szybkość kątowa,
v - szybkość liniowa,
r - promień okręgu, po którym porusza się ciało.
Aby wyznaczyć zależność prędkości liniowej od odległości młota od osi obrotu wykorzystajmy wyżej przedstawioną definicję i zapiszmy wzoru na szybkości kątowe:
▆ początkową:
ω1=r1v1
gdzie:
v1 - początkowa szybkość liniowa młota.
▆ po zmniejszeniu odległości od osi obrotu:
ω=r2v2
gdzie:
v2 - szybkość młota po zmniejszeniu odległości.
Wstawiamy powyższe zależności do naszej relacji i otrzymujemy:
ω=Im+m(r1−x)2Im+mr12ω1
r2v2=Im+m(r1−x)2Im+mr12r1v1∣⋅r2
v2=Im+m(r1−x)2Im+mr12r1v1r2
Korzystamy teraz z zależności, że r2=r1−x:
v2=Im+m(r1−x)2Im+mr12r1v1r2
v2=Im+m(r1−x)2Im+mr12r1(r1−x)v1
Widzimy, że szybkość liniowa v2 jest wprost proporcjonalna do szybkości v1, która jest wielkością stałą i możemy ją obliczyć jako:
ω1=r1v1∣⋅r1
v1=ω1r1
Wstawiamy wartości liczbowe do tego wzoru i otrzymujemy:
v1=4s1⋅1m=4sm
Dla podanych odległości, z jakimi młot zbliżał się do osi obrotu, obliczamy wartości prędkości kątowych:
Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności szybkości liniowej młota od jego odległości od miotacza.
Sporządzamy wykres, gdzie oś odciętych jest podpisana jako v(sm), natomiast oś rzędnych jest podpisana jako r2(m).
Następnie nanosimy punkty zgodnie z tabelą z poprzedniego podpunktu, czyli: (1;4), (0.9;4.2), (0.8;4.5), (0.7;4.7), (0.6;4.8), (0.5;4.9). Do naszych punktów możemy dopasować funkcję. Zgodnie z tym, co wyprowadziliśmy w poprzednim podpunkcie szybkość zależy od długości r2 następująco:
v2=Im+mr22Im+mr12⋅r1v1r2
v2=r1Im+mr1r22Im+mr12⋅v1r2
v2=r1Im+mr1r22v1r2Im+v1r2mr12
v2=r2r1Im+mr1r2v1Im+v1mr12
Wstawiamy dane liczbowe, pomijając jednostki układu SI -chcemy tylko wartość współczynnika, i otrzymujemy:
v2=r21⋅1,1+4⋅1⋅r24⋅1,1+4⋅4 ⋅12
v2=r21,1+4r24,4+16
v2=r21,1+4r220,4
Odpowiedź:
Sporządzony wykres wygląda następująco:
Zuzanna Wnuk
Nauczycielka fizyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku: