Rzut młotem polega na...5.1 Na treningu miotacz doskonalił...- Zadanie 5.1.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Komentarz nauczyciela — nie jest on częścią rozwiązania zadania!

Radian określa nam, że działamy na mierze łukowej, czyli stosunku długości łuku do długości promienia. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że możemy zapisać: $ω = 4 \frac{rad}{s} = 4 \frac{1}{s}$ .

Dane:

$m = 4 kg$

$l = 0, 7 m$

$ω_{1} = 4 \frac{rad}{s} = 4 \frac{1}{s}$

$r_{1} = 1 m$

$I_{m} = 1, 1 kg \cdot m^{2}$

$a)$

Odpowiedź:

Zastosowana przez zawodnika technika zwiększania prędkości kątowej wykorzystuje zasadę zachowania momentu pędu.

$b)$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie zależności prędkości kątowej kuli od promienia okręgu.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY

Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I = m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Początkowy moment bezwładności młota ma postać:

$I_{0} = m r_{1}^{2}$

gdzie:

$I_{0}$ - początkowy moment bezwładności młota,

$r_{1}$ - początkowa odległość metalowej kuli od środka ciężkości, czyli od osi obrotu.

Natomiast moment bezwładności po zmniejszeniu odległości ma postać:

$I = m r_{2}^{2}$

gdzie:

$r_{2}$ - zmniejszona odległości kuli od osi obrotu.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu,

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Początkowy moment pędu miotacza ma postać:

$L_{m .0} = I_{m} ω_{1}$

gdzie:

$L_{m .0}$ - początkowy moment pędu miotacza,

$I_{m}$ - moment pędu miotacza,

$ω_{1}$ - początkowa szybkość kątowa.

Początkowy moment pędu młota ma postać:

$L_{0} = I_{0} ω_{1}$

$L_{0} = m r_{1}^{2} ω_{1}$

Moment pędu miotacza po zmniejszeniu odległości kuli będzie miał postać:

$L_{m} = I_{m} ω$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa miotacza wraz z kulą (zależna od odległości kuli od miotacza).

Zatem moment pędu młota będzie miał postać:

$L = I ω$

$L = m r_{2}^{2} ω$

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_{m} + L = L_{m .0} + L_{0}$

$I_{m} ω + m r_{2}^{2} ω = I_{m} ω_{1} + m r_{1}^{2} ω_{1}$

$(I_{m} + m r_{2}^{2}) ω = (I_{m} + m r_{1}^{2}) ω_{1} ∣: (I_{m} + m r_{2}^{2})$

$ω = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m r _{2}^{2}} ω_{1}$

Wiemy, z treści zadania, że:

$r_{2} = r_{1} - x$

Wówczas:

$ω = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} ω_{1}$

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA

Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$ω = \frac{v}{r}$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa,

$v$ - szybkość liniowa,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Aby wyznaczyć zależność prędkości liniowej od odległości młota od osi obrotu wykorzystajmy wyżej przedstawioną definicję i zapiszmy wzoru na szybkości kątowe:

▆ początkową:

$ω_{1} = \frac{v _{1}}{r _{1}}$

gdzie:

$v_{1}$ - początkowa szybkość liniowa młota.

▆ po zmniejszeniu odległości od osi obrotu:

$ω = \frac{v _{2}}{r _{2}}$

gdzie:

$v_{2}$ - szybkość młota po zmniejszeniu odległości.

Wstawiamy powyższe zależności do naszej relacji i otrzymujemy:

$ω = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} ω_{1}$

$\frac{v _{2}}{r _{2}} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} \frac{v _{1}}{r _{1}} ∣ \cdot r_{2}$

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} \frac{v _{1} r _{2}}{r _{1}}$

Korzystamy teraz z zależności, że $r_{2} = r_{1} - x$ :

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} \frac{v _{1} r _{2}}{r _{1}}$

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x )}{r _{1}} v_{1}$

Widzimy, że szybkość liniowa $v_{2}$ jest wprost proporcjonalna do szybkości $v_{1}$ , która jest wielkością stałą i możemy ją obliczyć jako:

$ω_{1} = \frac{v _{1}}{r _{1}} ∣ \cdot r_{1}$

$v_{1} = ω_{1} r_{1}$

Wstawiamy wartości liczbowe do tego wzoru i otrzymujemy:

$v_{1} = 4 \frac{1}{s} \cdot 1 m = 4 \frac{m}{s}$

Dla podanych odległości, z jakimi młot zbliżał się do osi obrotu, obliczamy wartości prędkości kątowych:

✹ dla $x_{0} = 0 m$ mamy:

$v_{2} (x_{0}) = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{0} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{0} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{0}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 ) ^{2}} \cdot \frac{( 1 m - 0 )}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}} \cdot \frac{1 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}} \cdot \frac{1 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{5 , 1 kg \cdot m ^{2}} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= 4 \frac{m}{s}$

✹ dla $x_{1} = 0, 1 m$ mamy:

$v_{2} (x_{1}) = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{1} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{1} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{1}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 , 1 m ) ^{2}} \frac{( 1 m - 0 , 1 m )}{1 m} 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 0 , 9 m ) ^{2}} \frac{0 , 9 m}{1 m} 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 0 , 81 m ^{2}} \cdot 0, 9 \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 3 , 24 kg \cdot m ^{2}} \cdot 3, 6 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{4 , 34 kg \cdot m ^{2}} \cdot 3, 6 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1}{4 , 34} \cdot 3, 6 \frac{m}{s} \approx 1, 175 \cdot 3, 6 \frac{m}{s} \approx 4, 2 \frac{m}{s}$

✹ dla $x_{2} = 0, 2 m$ mamy:

$v_{2} (x_{2}) = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{2} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{2} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{2}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 , 2 m ) ^{2}} \cdot \frac{( 1 m - 0 , 2 m )}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 0 , 8 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 8 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 0 , 64 m ^{2}} \cdot \frac{0 , 8}{1} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 2 , 56 kg \cdot m ^{2}} \cdot 0, 8 \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{3 , 66 kg \cdot m ^{2}} \cdot 3, 2 \frac{m}{s} = \frac{5 , 1}{3 , 66} \cdot 3, 2 \frac{m}{s} \approx$

$\approx 1, 393 \cdot 3, 2 \frac{m}{s} = 4, 459 \frac{m}{s} \approx 4, 5 \frac{m}{s}$

✹ dla $x_{3} = 0, 3 m$ mamy:

$v_{2} (x_{3}) = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{3} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{3} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{3}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 , 3 m ) ^{2}} \cdot \frac{( 1 m - 0 , 3 m )}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 0 , 7 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 7 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 0 , 49 m ^{2}} \cdot 0, 7 \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 1 , 96 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2, 8 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{3 , 06 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2, 8 \frac{m}{s} \approx 1, 67 \cdot 2, 8 \frac{m}{s} =$

$= 4, 676 \frac{m}{s} \approx 4, 7 \frac{m}{s}$

✹ dla $x_{4} = 0, 4 m$ mamy:

$v_{2} (x_{4}) = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{4} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{4} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{4}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 , 4 m ) ^{2}} \cdot \frac{( 1 m - 0 , 4 m )}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 0 , 6 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 6 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 0 , 36 m ^{2}} \cdot 0, 6 \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 1 , 44 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2, 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{2 , 54 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2, 4 \frac{m}{s} \approx 2 \cdot 2, 4 \frac{m}{s} =$

$= 4, 8 \frac{m}{s}$

✹ dla $x_{5} = 0, 5 m$ mamy:

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m ( r _{1} - x _{5} ) ^{2}} \frac{( r _{1} - x _{5} )}{r _{1}} v_{1}$

$v_{2} (x_{5}) = \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m ) ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 1 m - 0 , 5 m ) ^{2}} \cdot \frac{( 1 m - 0 , 5 m )}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 1 m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot ( 0 , 5 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 5 m}{1 m} \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 4 kg \cdot 0 , 25 m ^{2}} \cdot 0, 5 \cdot 4 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{1 , 1 kg \cdot m ^{2} + 1 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2 \frac{m}{s} =$

$= \frac{5 , 1 kg \cdot m ^{2}}{2 , 1 kg \cdot m ^{2}} \cdot 2 \frac{m}{s} \approx 2, 429 \cdot 2 \frac{m}{s} =$

$= 4, 858 \frac{m}{s} \approx 4, 9 \frac{m}{s}$

Odpowiedź:

Uzupełniona tabela wygląda następująco:

$x$ - zmiana odległości, $(m)$	$0$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 5$
$r_{2} = r_{1} - x$ , $(m)$	$1$	$0, 9$	$0, 8$	$0, 7$	$0, 6$	$0, 5$
$v (\frac{m}{s})$	$4$	$4, 2$	$4, 5$	$4, 7$	$4, 8$	$4, 9$

$c)$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności szybkości liniowej młota od jego odległości od miotacza.

Sporządzamy wykres, gdzie oś odciętych jest podpisana jako $v (\frac{m}{s})$ , natomiast oś rzędnych jest podpisana jako $r_{2} (m)$ .

Następnie nanosimy punkty zgodnie z tabelą z poprzedniego podpunktu, czyli: $(1; 4)$ , $(0.9; 4.2)$ , $(0.8; 4.5)$ , $(0.7; 4.7)$ , $(0.6; 4.8)$ , $(0.5; 4.9)$ . Do naszych punktów możemy dopasować funkcję. Zgodnie z tym, co wyprowadziliśmy w poprzednim podpunkcie szybkość zależy od długości $r_{2}$ następująco:

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{I _{m} + m r _{2}^{2}} \cdot \frac{v _{1} r _{2}}{r _{1}}$

$v_{2} = \frac{I _{m} + m r _{1}^{2}}{r _{1} I _{m} + m r _{1} r _{2}^{2}} \cdot v_{1} r_{2}$

$v_{2} = \frac{v _{1} r _{2} I _{m} + v _{1} r _{2} m r _{1}^{2}}{r _{1} I _{m} + m r _{1} r _{2}^{2}}$

$v_{2} = \frac{v _{1} I _{m} + v _{1} m r _{1}^{2}}{\frac{r _{1} I _{m}}{r _{2}} + m r _{1} r _{2}}$

Wstawiamy dane liczbowe, pomijając jednostki układu SI -chcemy tylko wartość współczynnika, i otrzymujemy:

$v_{2} = \frac{4 \cdot 1 , 1 + 4 \cdot 4 \cdot 1 ^{2}}{\frac{1 \cdot 1 , 1}{r _{2}} + 4 \cdot 1 \cdot r _{2}}$

$v_{2} = \frac{4 , 4 + 16}{\frac{1 , 1}{r _{2}} + 4 r _{2}}$

$v_{2} = \frac{20 , 4}{\frac{1 , 1}{r _{2}} + 4 r _{2}}$

Odpowiedź:

Sporządzony wykres wygląda następująco:

Zuzanna Wnuk

Nauczycielka fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.2. Kinematyka

Premium

15:28

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.6. Bryła sztywna

Premium

11:43

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.4. Energia mechaniczna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.