Sprawdź, że w sytuacji opisanej w przykładzie...- Zadanie 5: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 40 kg$

$r_{1} = 80 cm = 0, 8 m$

$T_{1} = 4 s$

$r_{2} = 30 cm = 0, 3 m$

$T_{2} = 3 s$

Szukane:

$E_{k 1} = ?$

$E_{k 2} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest sprawdzenie, że całkowita energia kinetyczna karuzeli i dziecka zwiększyła się, gdy dziecko przesunęło się do osi obrotu oraz wyjaśnienie skąd wzięła się ta dodatkowa energia.

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, wartość momentu pędu w obu położeniach dziecka jest taki sam, co zapiszemy jako:

$L_{1} = L_{2}$

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Używając powyższy wzór, rozpisujemy zasadę zachowania momentu pędu:

$I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$

gdzie:

$I_{1}$ - początkowy moment bezwładności karuzeli z dzieckiem,

$ω_{1}$ - początkowa wartość prędkości kątowej, z jaką poruszała się karuzela z dzieckiem,

$I_{2}$ - końcowy moment bezwładności karuzeli z dzieckiem,

$ω_{2}$ - końcowa wartość prędkości kątowej, z jaką poruszała się karuzela z dzieckiem.

Wartość prędkości kątowej ciała możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$T$ - okres ruchu tego ciała.

Po zaindeksowaniu początkowa szybkość kątowa przyjmie postać:

$ω_{1} = \frac{2 π}{T _{1}}$

gdzie:

$ω_{1}$ - początkowa szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$T_{1}$ - początkowy okres ruchu tego ciała.

A końcowa szybkość kątowa przyjmie postać:

$ω_{2} = \frac{2 π}{T _{2}}$

gdzie:

$ω_{2}$ - końcowa szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$T_{2}$ - końcowy okres ruchu tego ciała.

Używając powyższych wzorów rozpisujemy zasadę zachowania momentu pędu:

$I_{1} \frac{2 π}{T _{1}} = I_{2} \frac{2 π}{T _{2}}$

Po uproszczeniu:

$\frac{I _{1}}{T _{1}} = \frac{I _{2}}{T _{2}}$

Zakładamy, że cała masa dziecka znajduje się w odległości $r$ od osi obrotu, zatem traktujemy dziecko jako punkt materialny.

Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I = m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Po zaindeksowaniu początkowy moment bezwładności dziecka przyjmie postać:

$I_{d z 1} = m r_{1}^{2}$

gdzie:

$I_{d z 1}$ - początkowy moment bezwładności dziecka,

$m$ - masa dziecka,

$r_{1}$ - początkowa odległość dziecka od osi obrotu.

Natomiast końcowy moment bezwładności dziecka przyjmie postać:

$I_{d z 2} = m r_{2}^{2}$

gdzie:

$I_{d z 2}$ - końcowy moment bezwładności dziecka,

$m$ - masa dziecka,

$r_{2}$ - końcowa odległość dziecka od osi obrotu.

Początkowy moment bezwładności karuzeli razem z dzieckiem $I_{1}$ jest sumą momentów bezwładności: pustej karuzeli $I_{k}$ i dziecka w początkowym położeniu $I_{d z 1}$ :

$I_{1} = I_{k} + I_{d z 1}$

Po rozpisaniu $I_{d z 1}$ otrzymujemy:

$I_{1} = I_{k} + m r_{1}^{2}$

Natomiast końcowy moment bezwładności karuzeli razem z dzieckiem $I_{2}$ jest sumą momentów bezwładności: pustej karuzeli $I_{k}$ i dziecka w końcowym położeniu $I_{d z 2}$ :

$I_{2} = I_{k} + I_{d z 2}$

Po rozpisaniu $I_{d z 2}$ otrzymujemy:

$I_{2} = I_{k} + m r_{2}^{2}$

Wracamy do wcześniej wyprowadzonej zależności:

$\frac{I _{1}}{T _{1}} = \frac{I _{2}}{T _{2}}$

Rozpisujemy $I_{1}$ i $I_{2}$ :

$\frac{I _{k} + m r _{1}^{2}}{T _{1}} = \frac{I _{k} + m r _{2}^{2}}{T _{2}}$

Mnożymy na krzyż:

$(I_{k} + m r_{1}^{2}) \cdot T_{2} = (I_{k} + m r_{2}^{2}) \cdot T_{1}$

Po przemnożeniu:

$I_{k} \cdot T_{2} + m r_{1}^{2} \cdot T_{2} = I_{k} \cdot T_{1} + m r_{2}^{2} \cdot T_{1}$

Grupujemy:

$I_{k} \cdot T_{2} - I_{k} \cdot T_{1} = m r_{2}^{2} \cdot T_{1} - m r_{1}^{2} \cdot T_{2}$

Wyciągami $I_{k}$ przed nawias:

$I_{k} (T_{2} - T_{1}) = m r_{2}^{2} \cdot T_{1} - m r_{1}^{2} \cdot T_{2} ∣ : (T_{2} - T_{1})$

$I_{k} = \frac{m r _{2}^{2} \cdot T _{1} - m r _{1}^{2} \cdot T _{2}}{T _{2} - T _{1}}$

Podstawiamy i obliczamy najlepiej za pomocą kalkulatora naukowego:

$I_{k} = \frac{40 kg \cdot ( 0 , 3 m ) ^{2} \cdot 4 s - 40 kg \cdot ( 0 , 8 m ) ^{2} \cdot 3 s}{3 s - 4 s} =$

$= \frac{40 kg \cdot 0 , 09 m ^{2} \cdot 4 s - 40 kg \cdot 0 , 64 m ^{2} \cdot 3 s}{- 1 s} =$

$= \frac{14 , 4 kg \cdot m ^{2} \cdot s - 76 , 8 kg \cdot m ^{2} \cdot s}{- 1 s} =$

$= \frac{- 62 , 4 kg \cdot m ^{2} \cdot s}{- 1 s} = 62, 4 kg \cdot m^{2}$

Obliczamy energie kinetyczne układu w obu położeniach dziecka.

Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,

$I$ - moment bezwładności bryły,

$ω$ - szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu.

Dla początkowego położenia dziecka wzór ten przyjmie postać:

$E_{k 1} = \frac{1}{2} I_{1} ω_{1}^{2}$

gdzie:

$E_{k 1}$ - początkowa energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,

$I_{1}$ - początkowy moment bezwładności bryły,

$ω_{1}$ - początkowa szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu.

Po rozpisaniu $I_{1}$ oraz $ω_{1}$ otrzymujemy:

$E_{k 1} = \frac{1}{2} (I_{k} + m r_{1}^{2}) \cdot (\frac{2 π}{T _{1}})^{2}$

Podstawiamy i obliczamy najlepiej za pomocą kalkulatora naukowego aby użyć dokładną wartość $π$ :

$E_{k 1} = \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 40 kg \cdot (0, 8 m)^{2}) \cdot (\frac{2 \cdot π}{4 s})^{2} =$

$= \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 40 kg \cdot 0, 64 m^{2}) \cdot (\frac{π}{2 s})^{2} =$

$= \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 25, 6 kg \cdot m^{2}) \cdot \frac{π ^{2}}{4 s ^{2}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 88 kg \cdot m^{2} \cdot \frac{π ^{2}}{4} \frac{1}{s ^{2}} =$

$= 44 \frac{kg \cdot m \cdot m}{s ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{4} = 11 π^{2} N \cdot m =$

$= 108, 5656 J \approx 109 J$

Dla końcowego położenia dziecka wzór na energie kinetyczną przyjmie postać:

$E_{k 2} = \frac{1}{2} I_{2} ω_{2}^{2}$

gdzie:

$E_{k 2}$ - końcowa energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,

$I_{2}$ - końcowy moment bezwładności bryły,

$ω_{2}$ - końcowa szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu.

Po rozpisaniu $I_{2}$ oraz $ω_{12}$ otrzymujemy:

$E_{k 2} = \frac{1}{2} (I_{k} + m r_{2}^{2}) \cdot (\frac{2 π}{T _{2}})^{2}$

Podstawiamy i obliczamy najlepiej za pomocą kalkulatora naukowego aby użyć dokładną wartość $π$ :

$E_{k 1} = \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 40 kg \cdot (0, 3 m)^{2}) \cdot (\frac{2 \cdot π}{3 s})^{2} =$

$= \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 40 kg \cdot 0, 09 m^{2}) \cdot (\frac{2 \cdot π}{3 s})^{2} =$

$= \frac{1}{2} (62, 4 kg \cdot m^{2} + 3, 6 kg \cdot m^{2}) \cdot \frac{4 π ^{2}}{9 s ^{2}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 66 kg \cdot m^{2} \cdot \frac{4 π ^{2}}{9} \frac{1}{s ^{2}} =$

$= 33 \frac{kg \cdot m \cdot m}{s ^{2}} \cdot \frac{4 π ^{2}}{9} = \frac{132}{9} π^{2} N \cdot m =$

$= 14.666666667 π^{2} N \cdot m = 144, 7541979 J \approx 145 J$

Uwaga: aby wartości energii były zgodne z odpowiedziami należy nie przybliżać liczby $π$ jako $3, 14$ . Należy użyć jej dokładniejszej wartości wykonując obliczenia za pomocą kalkulatora naukowego.

Odpowiedź: Całkowita energia kinetyczna początkowo wynosiła około $109 J$ a następnie wzrosła do około $145 J$ , zatem nie była zachowana, co należało sprawdzić.

Na podstawie zasady zachowania momentu pędu wiemy, że moment pędu jest $L=IωL=I\omegjest$ stały. Gdy dziecko zbliża się do osi obrotu, zmniejsza się jego moment bezwładności . Dla stałego momentu pędu rośnie wtedy szybkość kątowa $ω$ $ω\omeg,$ , a więc rośnie i energia kinetyczna ruchu obrotowego.

$↓I⇒↑E).E=\frac{L^2}{2I}\quad(\text{gdy }L=\text{const},\ \downarrow I \Rightarrow \uparrow E)$

Zatem ta dodatkowa energia pochodzi z pracy wykonanej przez dziecko (mięśnie) podczas przesuwania się do środka - dziecko „zasila” układ, głównie zwiększając energię obrotową samej karuzeli.