Dane:

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$v_0=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Rozwiązanie:

a)

Zastanówmy się na początku, jakie będzie położenie kulki po podanym czasie równym:

$t=\frac{1}{4}\text{s}=0,25\text{s}$  

Czas wznoszenia się ciała na wysokość maksymalną dla rzutu ukośnego obliczamy korzystając z wzoru:

$t_w=\frac{v_0\sin \alpha }{g}$  

gdzie $t_w$  jest czasem wznoszenia się ciała, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim, $v_0$  jest szybkością początkową ciała.

Obliczając czas wznoszenia dowiemy się, czy kulka w podanym czasie nada się wznosi, czy już pada, a może znajduje się na maksymalnej wysokości?

$t_w=\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sin {30}^{\circ }}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,5}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=0,25\text{s}$  

Czas wznoszenia się kulki jest równy czasowi, po jakim rozważamy jej prędkość!

Oznacza to, że kulka znajduje się na maksymalnej wysokości, jaką może osiągnąć. Wówczas prędkość stalowej kulki $v$  odpowiada składowej prędkości poziomej w tym punkcie $v_x$ . Wiemy, że w czasie ruchu składowa prędkości pozioma nie zmienia się $v_x=v_{0.x}$ . Oznacza to, że:

$v=v_x=v_{0.x}$  

Wartość prędkości możemy opisać za pomocą funkcji trygonometrycznych. Wówczas otrzymujemy, że:

$\cos \alpha =\frac{v_{0.x}}{v_0}\text{, czyli }{v}_{0.x}=v_0\cos \alpha$   

Zatem:

$v=v_0\cos \alpha$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \cos {30}^{\circ }=5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,866\approx 4,3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

 

b)  

Korzystamy z wzoru na zasięg rzutu ukośnego:

$Z=\frac{v_0^2\sin \left(2\alpha \right)}{g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Z=\frac{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\cdot \sin \left(2\cdot {30}^{\circ }\right)}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \sin {60}^{\circ }}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=2,5\text{m}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2,17\text{m}\approx 2,2\text{m}$  

 

c)

Obliczając maksymalną wysokość korzystamy z wzoru:

$H_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$H_{\text{max}}=\frac{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\cdot {\sin }^2{30}^{\circ }}{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{1}{4}}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$   

$=\frac{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot 0,25}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{6,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=0,3125\text{m}\approx 0,31\text{m}$