Dane:

$C_1=2\mu \text{F}=2\cdot {10}^{-6}\text{F}$  

$C_2=8\mu \text{F}=8\cdot {10}^{-6}\text{F}$  

$U=300\text{V}$      

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$E=?$

Rozwiązanie:

Energia układu kondensatorów jest równa energii pojedynczego kondensatora o pojemności równej pojemności zastępczej tego układu, więc wyrazimy ją przy pomocy wzoru:

$E=\frac{C{U}^2}{2}$

gdzie:

$E$ - energia układu kondensatorów,

$C$ - pojemność zastępcza układu kondensatorów,

$U$ - napięcie.

Pojemność zastępczą kondensatorów połączonych szeregowo dla naszego przypadku możemy przedstawić wzorem:

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$  

gdzie:

$C_1,C_2$ - pojemności połączonych szeregowo kondensatorów.

Wyznaczamy z powyższego wyrażenia pojemność zastępczą:

$\frac{1}{C}=\frac{C_2}{C_1\cdot C_2}+\frac{C_1}{C_1\cdot C_2}$  

$\frac{1}{C}=\frac{C_1+C_2}{C_1\cdot C_2}$  

Z tego wynika, że:

$C=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}$  

Wówczas energię układu zapiszemy jako:

$E=\frac{C{U}^2}{2}$   

$E=\frac{{\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}\cdot U}^2}{2}$

$E=\frac{C_1{C}_2{U}^2}{2\left(C_1+C_2\right)}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$E=\frac{2\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}\cdot 8\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}\cdot {\left(300\mathrm{V}\right)}^2}{2\cdot \left(2\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}+8\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}\right)}=\frac{16\cdot {10}^{-12}{\mathrm{F}}^{\cancel{2}}\cdot 90000{\mathrm{V}}^2}{2\cdot 10\cdot {10}^{-6}\cancel{\mathrm{F}}}=$

$=\frac{1440000\cdot {10}^{-12}{\mathrm{F}}^{}\cdot {\mathrm{V}}^2}{2\cdot {10}^{-5}}=\frac{1,44\cdot {10}^{-6}\frac{\mathrm{C}}{\cancel{\mathrm{V}}}\cdot {\mathrm{V}}^{\cancel{2}}}{2\cdot {10}^{-5}}=$

$=0,72\cdot 10^{-1}\mathrm{C}\cdot \mathrm{V}=7,2\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$

Odpowiedź: Energia układu kondensatorów wynosi 7,2⋅10^-2 J.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$E=?$

Rozwiązanie:

Kondensatory początkowo były podłączone szeregowo co oznacza, że na każdym z nich zgromadził się taki sam ładunek:

$Q_1=Q_2$

gdzie:

$Q_1$ - ładunek, który zgromadził się na pierwszym kondensatorze,

$Q_2$ - ładunek który zgromadził się na drugim kondensatorze.

Natomiast napięcie na każdym z kondensatorów przy połączeniu szeregowym jest inne, ale spełniają one zależność:

$U=U_1+U_2$

gdzie:

$U$ - przyłożona różnica potencjałów,

$U_1$ - napięcie pierwszego kondensatora,

$U_2$ - napięcie drugiego kondensatora.

Następnie kondensatory rozłączono i połączono ponownie, przy czym połączono razem dodatnie okładki i razem ujemne. Takie połączenie odpowiada połączeniu równoległemu kondensatorów. Oznacza to, że pojemność zastępczą takiego układu policzymy jako:

$C=C_1+C_2$

gdzie:

$C$ - pojemność zastępcza układu,

$C_1$ - pojemność pierwszego kondensatora,

$C_2$ - pojemność drugiego kondensatora.

Energię takiego układu wyrazimy przy pomocy wzoru:

$E=\frac{C{U}_z^2}{2}$

gdzie:

$E$ - energia układu kondensatorów,

$C$ - pojemność zastępcza układu kondensatorów,

$U_z$ - napięcie w powstałym układzie.

Napięcie w połączonym na nowo układzie możemy przedstawić jako:

$U_z=\frac{Q}{C}$

gdzie:

$Q$ - ładunek zgromadzony na kondensatorach.

Wzór na energię układu przyjmie więc postać:

$E=\frac{C{U}_z^2}{2}$

$E=\frac{C{\left(\frac{Q}{C}\right)}^2}{2}$

$E=\frac{\cancel{C}{Q}^2}{2C^{\cancel{2}}}$

$E=\frac{Q^2}{2\left(C_1+C_2\right)}$

 Ładunek będzie równy sumie ładunków zgromadzonych na kondensatorach przed ich rozłączeniem:

$Q=Q_1+Q_2$

Przy czym, jak zaznaczyliśmy na początku, ładunki te były takie same, więc możemy uprościć wyrażenie:

$Q=Q_1+Q_2$

$Q=Q_1+Q_1$

$Q=2Q_1$

 Aby wyznaczyć wartość ładunku zgromadzonego na pierwszym kondensatorze skorzystamy z zależności:

$Q_1=C_1{U}_1$

Oraz:

$Q_1=Q_2$  

$U=U_1+U_2$    

$Q_2=C_2\cdot U_2$  

Ponieważ:

$Q_1=Q_2$  

To:

$C_1{U}_1=C_2{U}_2$  

Zauważmy, że skoro:

$U=U_1+U_2$   

To:

$U_2=U-U_1$

Z tego wynika, że napięcie na pierwszym kondensatorze będzie wynosiło:

$C_1\cdot U_1=C_2\cdot U_2$

$C_1\cdot U_1=C_2\cdot \left(U-U_1\right)$  

$C_1\cdot U_1=C_2\cdot U-C_2\cdot U_1\mid +C_2\cdot U_1$  

$C_1\cdot U_1+C_2\cdot U_1=C_2\cdot U$  

$U_1\cdot \left(C_1+C_2\right)=C_2\cdot U\mid :\left(C_1+C_2\right)$  

$U_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}\cdot U$         

Wówczas wartość ładunku zgromadzonego na pierwszym kondensatorze będzie wynosiła:

$Q_1=C_1\cdot U_1$  

$Q_1=C_1\cdot \frac{C_2}{C_1+C_2}\cdot U$  

$Q_1=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}\cdot U$  

A zatem ładunek połączonego na nowo układu kondensatorów to:

$Q=2Q_1$

$Q=2\cdot \frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}\cdot U$

Zatem wzór na energię układu przyjmie postać:

$E=\frac{Q^2}{2\left(C_1+C_2\right)}$

$E=\frac{{\left(\frac{2C_1{C}_{2}U}{C_1+C_2}\right)}^2}{2\left(C_1+C_2\right)}$

$E=\frac{\frac{4C_1^2{C}_2^2{U}^2}{{\left(C_1+C_2\right)}^2}}{2\left(C_1+C_2\right)}$

$E=\frac{4C_1^2{C}_2^2{U}^2}{2{\left(C_1+C_2\right)}^3}$

$E=\frac{2C_1^2{C}_2^2{U}^2}{{\left(C_1+C_2\right)}^3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{2\cdot {\left(2\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\right)}^2\cdot {\left(8\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\right)}^2\cdot {\left(300\mathrm{V}\right)}^2}{{\left(2\cdot 10^{-6}\mathrm{F}+8\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\right)}^3}=$

$=\frac{2\cdot 4\cdot 10^{-12}{\mathrm{F}}^2\cdot 64\cdot 10^{-12}{\mathrm{F}}^2\cdot 90000{\mathrm{V}}^2}{{\left(10\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\right)}^3}=$

$=\frac{46080000\cdot 10^{-24}{\mathrm{F}}^{\cancel{4}}\cdot {\mathrm{V}}^2}{10^{-15}\cancel{{\mathrm{F}}^3}}=$

$=46080000\cdot 10^{-9}\frac{\mathrm{C}}{\cancel{\mathrm{V}}}\cdot {\mathrm{V}}^{\cancel{2}}\approx$

$\approx 4,6\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$

Odpowiedź: Energia układu kondensatorów wynosi około 4,6⋅10^-2 J.

 

$\mathbf{c})$

 Uzasadnienie: 

Kondensatory połączone szeregowo były naładowane takimi samymi wartościami ładunków. Jeżeli połączymy okładkę ujemną z okładką dodatnią, to ładunek wyrówna się i wartość ładunku w nowym układzie będzie wynosiła zero, a energia układu jest wprost proporcjonalna do zgromadzonego ładunku.

 Odpowiedź: 

Energia układu jest zerowa.