Uzasadnienie: 

Naszym celem jest określenie, czy dla materiału, dla którego wykonano pomiary, natężenie jest proporcjonalne do napięcia. Wiemy, że jeśli te wielkości są do siebie proporcjonalne, to spełniona będzie zależność:

$I=aU$

gdzie:

$I$ - natężenie prądu,

$a$ - współczynnik proporcjonalności,

$U$ - współczynnik napięcia.

Chcemy wyznaczyć współczynnik proporcjonalności dla tych pomiarów, więc przekształcamy powyższe równanie:

$I=aU|:U$

$\frac{I}{U}=a$

$a=\frac{I}{U}$

Zgodnie z treścią polecenia mierzymy natężenie od napięcia, i wynik pomiaru tej wielkości jest wykonany z dokładnością około 3%. Natężenie jest obarczone niepewnością, więc wyliczony na jego podstawie współczynnik proporcjonalności również będzie obarczony pewną niepewnością. Wiemy, że niepewność pomiaru możemy obliczyć stosując wzór:

$\Delta x=\frac{x_{\max }-x_{\min }}{2}$

gdzie:

$\Delta x$ - niepewność wielkości x,

$x_{\max }$ - maksymalna wartość x,

$x_{\min }$ - minimalna wartość x.

Dla naszego zadania możemy zapisać:

$\Delta a=\frac{a_{\max }-a_{\min }}{2}$

gdzie:

$\Delta a$ - niepewność współczynnika proporcjonalności,

$a_{\max }$ - maksymalna wartość współczynnika proporcjonalności,

$a_{\min }$ - minimalna wartość współczynnika proporcjonalności.

Maksymalną wartość współczynnika proporcjonalności możemy obliczyć ze wzoru:

$a_{\max }=\frac{I_{\max }}{U}$

gdzie:

$I_{\max }$ - maksymalna wartość natężenia.

Maksymalna wartość natężenia w tym przypadku będzie dana wzorem:

$I_{\max }=1,03I$

Korzystając z tego, możemy zapisać wzór na maksymalną wartość współczynnika proporcjonalności w postaci:

$a_{\max }=\frac{1,03I}{U}$

Minimalną wartość współczynnika proporcjonalności jest dana wzorem:

$a_{\min }=\frac{I_{\min }}{U}$

gdzie:

$I_{\min }$ - minimalna wartość natężenia.

Minimalna wartość natężenia jest dana wzorem:

$I_{\min }=0,97I$

Podstawiając to do wzoru na minimalną wartość współczynnika proporcjonalności, otrzymujemy:

$a_{\min }=\frac{0,97I}{U}$

Podstawiając wzory na maksymalną i minimalną wartość współczynnika proporcjonalności do wzoru na niepewność tej wielkości, otrzymujemy:

$\Delta a=\frac{\frac{1,03I}{U}-\frac{0,97I}{U}}{2}$

$\Delta a=\frac{1,03I-0,97I}{2U}$

$\Delta a=\frac{0,06I}{2U}$

$\Delta a=\frac{0,03I}{U}$

Korzystając z otrzymanych wzorów, mogę wyznaczyć wartości współczynników proporcjonalności oraz ich niepewności. 

Dla pierwszego wiersza w tabeli mamy $U_1=1,45\text{V}$ oraz $I_2=721\text{mA}=0,721\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_1=\frac{0,721\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,497\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_1=\frac{0,03\cdot 0,721\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,015\frac{1}{\Omega }$

Dla drugiego wiersza mamy $U_2=2,98\text{V}$ oraz $I_2=1497\text{mA}=1,497\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_2=\frac{1,497\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,502\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_2=\frac{0,03\cdot 1,497\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,015\frac{1}{\Omega }$

Dla trzeciego wiersza mamy $U_3=4,14\text{V}$ oraz $I_3=2134\text{mA}=2,134\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_3=\frac{2,134\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,515\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_3=\frac{0,03\cdot 2,134\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,015\frac{1}{\Omega }$

Dla czwartego wiersza mamy $U_4=6,02\text{V}$ oraz $I_4=2950\text{mA}=2,95\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_4=\frac{2,95\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,49\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_4=\frac{0,03\cdot 2,95\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,015\frac{1}{\Omega }$

Widzimy, że wszystkie otrzymane wartości są bardzo podobne i mają wspólne wartości jeśli uwzględnimy ich niepewności.

 Odpowiedź: 

Można powiedzieć, że natężenie jest proporcjonalne do napięcia w granicach niepewności pomiarowej.

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest określenie, czy dla materiału, dla którego wykonano pomiary, natężenie jest proporcjonalne do napięcia. Aby to stwierdzić, skorzystamy ze wzorów na współczynnik proporcjonalności oraz jego niepewność, otrzymanych w poprzednim podpunkcie.

Dla pierwszego wiersza tabeli dla tego podpunktu mamy $U_1=1,45\text{V}$ oraz $I_2=287\text{mA}=0,287\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_1=\frac{0,287\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,1979\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_1=\frac{0,03\cdot 0,297\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,0059\frac{1}{\Omega }$

Dla drugiego wiersza mamy $U_2=2,98\text{V}$ oraz $I_2=714\text{mA}=0,714\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_2=\frac{0,714\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,2396\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_2=\frac{0,03\cdot 0,714\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,072\frac{1}{\Omega }$

Dla trzeciego wiersza mamy $U_3=4,14\text{V}$ oraz $I_3=1293\text{mA}=1,293\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_3=\frac{1,293\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,3123\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_3=\frac{0,03\cdot 1,293\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,0094\frac{1}{\Omega }$

Dla czwartego wiersza mamy $U_4=6,02\text{V}$ oraz $I_4=2097\text{mA}=2,097\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_4=\frac{2,097\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,348\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_4=\frac{0,03\cdot 2,097\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,010\frac{1}{\Omega }$

Jak widać, różnice między wartościami współczynników są zbyt duże, nawet po uwzględnieniu niepewności.

 Odpowiedź: 

Nie możemy powiedzieć, że natężenie jest proporcjonalne do napięcia.

 

$\mathbf{c})$

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest określenie, czy dla materiału, dla którego wykonano pomiary, natężenie jest proporcjonalne do napięcia. Aby to stwierdzić, skorzystamy ze wzorów na współczynnik proporcjonalności oraz jego niepewność, otrzymanych w pierwszym podpunkcie.

Dla pierwszego wiersza tabeli dla tego podpunktu mamy $U_1=1,45\text{V}$ oraz $I_2=472\text{mA}=0,472\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_1=\frac{0,472\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,3255\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_1=\frac{0,03\cdot 0,472\text{A}}{1,45\text{V}}\approx 0,0098\frac{1}{\Omega }$

Dla drugiego wiersza mamy $U_2=2,98\text{V}$ oraz $I_2=714\text{mA}=0,714\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_2=\frac{0,714\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,2396\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_2=\frac{0,03\cdot 0,714\text{A}}{2,98\text{V}}\approx 0,072\frac{1}{\Omega }$

Dla trzeciego wiersza mamy $U_3=4,14\text{V}$ oraz $I_3=920\text{mA}=0,92\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_3=\frac{0,92\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,2222\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_3=\frac{0,03\cdot 0,92\text{A}}{4,14\text{V}}\approx 0,0067\frac{1}{\Omega }$

Dla czwartego wiersza mamy $U_4=6,02\text{V}$ oraz $I_4=1180\text{mA}=1,18\text{A}$. Podstawiamy to do wzorów na współczynnik proporcjonalności i jego niepewność:

$a_4=\frac{1,18\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,1960\frac{1}{\Omega }$

$\Delta a_4=\frac{0,03\cdot 1,18\text{A}}{6,02\text{V}}\approx 0,0059\frac{1}{\Omega }$

Jak widać, różnice między wartościami współczynników są zbyt duże, nawet po uwzględnieniu niepewności.

 Odpowiedź: 

Nie możemy powiedzieć, że natężenie jest proporcjonalne do napięcia.