$\mathbf{a})$

Dane:

▶ średni czas życia mionu: $t_{\mu }=2,2\text{μ}\mathrm{s}=2,2\cdot 10^{-6}\mathrm{s}$,

▶ wartość prędkości światła: $c=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Szukane:

▶ maksymalna odległość jaką może przebyć mion: $s=\text{?}$.

Rozwiązanie:

Mechanika klasyczna

Wyznaczamy jaką odległość wydawałoby się, że mógłby przebyć mion w średnim czasie swojego życia. Korzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym:

$s=vt$

gdzie:

$s$ - przebyta droga,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu ciała.

Gdyby mion poruszał się z prędkością o wartości zbliżonej do wartości prędkości światła $v\approx c$, to w czasie swojego istnienia (zanim nie ulegnie spontanicznemu rozpadowi), według mechaniki klasycznej, przebędzie drogę:

$s=c{t}_{\mu }$

gdzie:

$c$ - wartość prędkości światła,

$t_{\mu }$ - średni czas życia mionu.

Obliczamy:

$s=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 2,2\cdot 10^{-6}\mathrm{s}=6,6\cdot 10^2\mathrm{m}=660\mathrm{m}$

Otrzymujemy, że maksymalny dystans, jaki może przebyć mion, zanim ulegnie rozpadowi, wynosiłby zaledwie $660\mathrm{m}$. Wynik ten nie zgadza się z eksperymentami, które rejestrują miony docierające z górnych warstw atmosfery. Nie możemy stosować tu wzorów z mechaniki klasycznej, ponieważ miony są cząstkami ultrarelatywistycznymi.

Mechanika relatywistyczna - obserwator na Ziemi

Uwzględniamy fakt, że mion porusza się z prędkością bliską prędkości światła. Obserwator spoczywający na Ziemi zauważa, że dla cząstki poruszającej się tak szybko musi wystąpić dylatacja czasu. Dla obserwatora na Ziemi, wydaje się jakby czas dla lecącego mionu zwolnił, stąd może on przebyć dłuższą odległość zanim ulegnie rozpadowi, ponieważ to spowolnienie czasu ma zastosowania do wszystkich procesów fizycznych i biologicznych. Mion wolniej dąży do spontanicznego rozpadu.

Dylatacja czasu jest to różnica czasów pomiędzy dwoma rozważanymi układami, które poruszają się względem siebie z pewną prędkością. Jeżeli jeden z tych układów przyjmiemy za nieruchomy, to w drugim, poruszającym się, czas płynie wolniej. Zjawisko to opisuje równanie:

$\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

gdzie:

$\Delta t$ - czas rejestrowany w nieruchomym układzie, 

$\Delta t^{\prime }$ - czas rejestrowany w ruchomym układzie, 

$v$ - szybkość względna układów,

$c$ - wartość prędkości światła. 

W naszym przypadku:

$\Delta t^{\prime }=t_{\mu }$

Przyjmujemy, że mion porusza się z wartością prędkości wynoszącą $99,99\%c$.

$v=0,9999c$

Zatem:

$\Delta t=\frac{t_{\mu }}{\sqrt{1-\frac{{\left(0,9999c\right)}^2}{c^2}}}$

$\Delta t=\frac{t_{\mu }}{\sqrt{1-\frac{0,99980001c^2}{c^2}}}$

$\Delta t=\frac{t_{\mu }}{\sqrt{1-0,99980001}}$

$\Delta t\approx \frac{1}{0,01414}{t}_{\mu }$

$\Delta t\approx 70,7t_{\mu }$

Rzeczywisty dystans, jaki może przebyć taki mion, wyznaczymy jako:

$s=v\Delta t$

$s=0,9999c\cdot 70,7t_{\mu }$

$s=70,69293c{t}_{\mu }$

Obliczamy:

$s=70,69293\cdot 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 2,2\cdot 10^{-6}\mathrm{s}=466,57\cdot 10^2\mathrm{m}=46657\mathrm{m}\approx 47\mathrm{km}$

Im bliższa będzie szybkość mionu do szybkości światła, tym dłuższy dystans będzie on mógł przebyć, na skutek silniejszego efektu dylatacji czasu. Zatem ultrarelatywistyczne miony mogą docierać do powierzchni Ziemi nawet z górnych warstw atmosfery Ziemi.

Mechanika relatywistyczna - obserwator w układzie związanym z mionem

Uwzględniamy fakt, że mion porusza się z prędkością bliską prędkości światła. Obserwator poruszający się wraz z mionem nie odczuwa dylatacji czasu - dla niego czas płynie normalnie. Natomiast z racji prędkości relatywistycznych w obranym układzie współrzędnych, musimy uwzględnić skrócenie Lorentza. 

W dwóch układach odniesienia, gdy ich względna szybkość jest relatywistyczna mamy do czynienia ze zjawiskiem nazywanym skróceniem Lorentza. Jest to zmniejszenie wymiarów w stosunku do jego długości własnej (długość dla obserwatora w spoczynku) w układzie poruszającym się względem układu nieruchomego. W tym, przypadku dystans dzielący mion od jego pierwotnego położenia do powierzchni Ziemi ulegnie skróceniu. Zjawisko to opisujemy wzorem:

$\Delta x^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta x$

gdzie:

$\Delta x$ - długość w nieruchomym układzie, 

$\Delta x^{\prime }$ - długość w układzie poruszającym się, 

$v$ - szybkość ciała (względna układów), 

$c$ - wartość prędkości światła w próżni. 

Stąd:

$\Delta x=\frac{\Delta x^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Średni czas życia mionu pozwala mu na przebycie tylko $660\mathrm{m}$  - obliczmy z jakiej odległości nastąpiło to skrócenie Lorentza.

$\Delta x^{\prime }=660\mathrm{m}$

Przyjmujemy szybkość mionu:

$v=0,9999c$

Zatem:

$\Delta x=\frac{\Delta x^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{{\left(0,9999c\right)}^2}{c^2}}}$

$\Delta x=\frac{\Delta x^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{0,99980001c^2}{c^2}}}$

$\Delta x=\frac{\Delta x^{\prime }}{\sqrt{1-0,99980001}}$

$\Delta x\approx \frac{1}{0,01414}\Delta x^{\prime }$

$\Delta x\approx 70,7\Delta x^{\prime }$

Rzeczywisty dystans, jaki może przebyć taki mion, wyznaczymy jako:

$s=\Delta x=70,7\cdot 660\mathrm{m}=46662\mathrm{m}\approx 47\mathrm{km}$

Otrzymaliśmy w przybliżeniu taki sam wynik jak poprzednio. Mion na skutek skrócenia Lorentza przebywa $47\mathrm{km}$ w atmosferze Ziemi, gdzie z jego perspektywy jest to zaledwie $660\mathrm{m}$. Im bliższa będzie szybkość mionu do szybkości światła, tym dłuższy dystans będzie on mógł przebyć, na skutek silniejszego skrócenia Lorentza. Zatem ultrarelatywistyczne miony mogą docierać do powierzchni Ziemi nawet z górnych warstw atmosfery Ziemi.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

▶ średni czas życia mionu: $t_{\mu }=2,2\text{μ}\mathrm{s}=2,2\cdot 10^{-6}\mathrm{s}$,

▶ grubość atmosfery: $d=30\mathrm{km}=30000\mathrm{m}=3\cdot 10^4\mathrm{m}$,

▶ wartość prędkości światła: $c=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Szukane:

▶ szybkość mionu: $v=\text{?}$.

Rozwiązanie:

Mechanika klasyczna

Wyznaczamy szybkość mionu. Korzystamy ze wzoru na wartość prędkości w ruchu jednostajnym:

$v=\frac{s}{t}$

gdzie:

$s$ - przebyta droga,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu ciała.

Wyznaczamy szybkość, z jaką musiałby poruszać się cząstka, alby pokonać zadaną odległość w swoim średnim czasie życia.

$v=\frac{d}{t_{\mu }}$

gdzie:

$d$ - zadana odległość do pokonania w atmosferze,

$t_{\mu }$ - średni czas życia mionu.

Zatem:

$v=\frac{3\cdot 10^4\mathrm{m}}{2,2\cdot 10^{-6}\mathrm{s}}\approx 1,4\cdot 10^{10}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Żeby przebyć taką odległość w ujęciu mechaniki klasycznej, mion musiałby poruszać się z szybkością większą od szybkości światła.

$v>c$

$1,4\cdot 10^{10}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}>3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Mion nie może poruszać się z prędkością o takiej wartości, zatem w ujęciu mechaniki klasycznej, nie może on pokonać takiego dystansu.

 

$\mathbf{c})$

Jak wykazaliśmy w podpunkcie $\text{a)}$ wyniki mechaniki klasycznej prowadzą do sprzeczności z eksperymentem, ponieważ mamy do czynienia z cząstkami ultrarelatywistycznymi i musimy zastosować prawa mechaniki relatywistycznej.

Mechanika relatywistyczna

Wyznaczmy jaką szybkość w rzeczywistości musi osiągać mion. Korzystamy ze wzoru opisującego skrócenie Lorentza.

$\Delta x^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta x$

gdzie:

$\Delta x$ - długość w nieruchomym układzie, 

$\Delta x^{\prime }$ - długość w układzie poruszającym się, 

$v$ - szybkość ciała (względna układów), 

$c$ - wartość prędkości światła w próżni. 

Wyznaczmy z tego wzoru zależność na szybkość mionu.

$\Delta x^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta x|:\Delta x$

$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}{|}^2$

$1-\frac{v^2}{c^2}={\left(\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}\right)}^2|+\frac{v^2}{c^2}-{\left(\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}\right)}^2$

$1-{\left(\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}\right)}^2=\frac{v^2}{c^2}|\cdot c^2$

$v^2=c^2\left(1-{\left(\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}\right)}^2\right)|\sqrt{}$

$v=c\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta x^{\prime }}{\Delta x}\right)}^2}$

Podstawiamy dane liczbowe:

▶ odległość przebywana w układzie mionu: $\Delta x^{\prime }=660\mathrm{m}=6,6\cdot 10^2\mathrm{m}$,

▶ grubość atmosfery: $\Delta x=30\mathrm{km}=30000\mathrm{m}=3\cdot 10^4\mathrm{m}$,

▶ wartość prędkości światła: $c=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Obliczamy:

$v=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{6,6\cdot 10^2\mathrm{m}}{3\cdot 10^4\mathrm{m}}\right)}^2}=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(2,2\cdot 10^{-2}\right)}^2}=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-4,84\cdot 10^{-4}}=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-0,000484}\approx 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 0,999758\approx 2,9993\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Mechanika relatywistyczna pokazuje, że szybkość mionu podróżującego w atmosferze nie przekroczy wartości prędkości światła.