Naszym celem jest udowodnienie, że kwadrat wektora pędu jest równy wartości tego pędu podniesionej do kwadratu.

Kwadrat wektora pędu to iloczyn skalarny dwóch równych sobie wektorów pędu:

${\left(\vec{p}\right)}^2=\vec{p}\circ \vec{p}$  

gdzie:

$\vec{p}$ - wektor pędu.

Iloczyn skalarny wielkości wektorowych  $\vec{a}$   i $\vec{b}$   z definicji wyrażamy jako:

$\vec{a}\circ \vec{b}=ab\cos \angle \left(\vec{a},\vec{b}\right)$

gdzie:

$a$   - długość wektora $\vec{a}$,

$b$   - długość wektora $\vec{b}$,

$\angle \left(\vec{a},\vec{b}\right)$   - kąt między wektorami.

Zatem:

$\vec{p}\circ \vec{p}=pp\cos 0^{\circ }$

Rozpatrujemy dwa wektory, o takim samym kierunku i zwrocie, stąd kąt między nimi jest równy zero. Otrzymujemy:

$\vec{p}\circ \vec{p}=pp\cdot 1$

$\vec{p}\circ \vec{p}=p^2$

Z tego wynika, że:

${\left(\vec{p}\right)}^2=p^2$