Dane:

$\Delta \lambda =0,08\lambda$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Szukane:

$v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie wartości prędkości, z jaką oddala się obserwowana galaktyka. Korzystamy z przybliżonego wzoru Dopplera dla fal elektromagnetycznych (zakładamy, że wartość prędkości galaktyki jest mniejsza niż 20% wartości prędkości światła):

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1\pm \frac{v}{c}\right)$   

gdzie:

${\nu }^{\prime }$ - częstotliwość fali odbieranej przez odbiornik na skutek zjawiska Dopplera,

$\nu$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$c$ - wartość prędkości światła (fali elektromagnetycznej),

$v$ - wartość prędkości względnej, z jaką zbliżają (+) / oddalają (-) się odbiornik i źródło.

W przypadku przedstawianym w zadaniu galaktyka jest źródłem fali elektromagnetycznej i oddala się od nas.

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v}{c}\right)$

Przekształcamy wzór, żeby wyznaczyć wartość prędkości galaktyki.

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v}{c}\right)|:\nu$

$\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }=1-\frac{v}{c}|+\frac{v}{c}-\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }$

$\frac{v}{c}=1-\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }|\cdot c$

$v=c\left(1-\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }\right)$

Musimy wyznaczyć zmianę częstotliwości fali odbieranej z galaktyki. Znamy zmianę długości fali, czyli przesunięcie ku czerwieni.

$\Delta \lambda =0,08\lambda$

gdzie:

$\Delta \lambda$ - zmiana długości fali,

$\lambda$ - długość wyemitowanej fali.

Zatem:

${\lambda }^{\prime }-\lambda =0,08\lambda$

gdzie:

${\lambda }^{\prime }$ - długość odbieranej fali.

Przekształcamy równanie:

${\lambda }^{\prime }=0,08\lambda +\lambda$

${\lambda }^{\prime }=1,08\lambda$

$\frac{{\lambda }^{\prime }}{\lambda }=1,08$

Długość fali możemy powiązać z jej częstotliwością. 

$c=\lambda \nu$

gdzie:

$c$ - wartość prędkości światła,

$\lambda$ - długość fali elektromagnetycznej,

$\nu$ - częstotliwość fali elektromagnetycznej.

Stąd:

$\lambda =\frac{c}{\nu }$ oraz ${\lambda }^{\prime }=\frac{c}{{\nu }^{\prime }}$

Otrzymujemy:

$\frac{{\lambda }^{\prime }}{\lambda }=1,08$

$\frac{\frac{c}{{\nu }^{\prime }}}{\frac{c}{\nu }}=1,08$

$\frac{\cancel{c}}{{\nu }^{\prime }}\cdot \frac{\nu }{\cancel{c}}=1,08$

$\frac{\nu }{{\nu }^{\prime }}=1,08$

$\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }=\frac{1}{1,08}=\frac{100}{108}$

Wracamy do wyprowadzonego wcześniej wzoru:

$v=c\left(1-\frac{{\nu }^{\prime }}{\nu }\right)$

$v=c\left(1-\frac{100}{108}\right)$

$v=c\left(\frac{108}{108}-\frac{100}{108}\right)$

$v=c\cdot \frac{8}{108}$

$v=\frac{2}{27}c$

Obliczamy wartość prędkości galaktyki:

$v=\frac{2}{27}\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,22\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2,2\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Obserwowana galaktyka oddala się od nas z szybkością wynoszącą około $2,2\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.