TREŚĆ:

Zadanie 12.

Izotop plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$. 

Podczas rozpadu jądra tego izotopu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako $\mathrm{X}$.

Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

• iloraz masy jądra pierwiastka $\mathrm{X}$ i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu: $\frac{m_{\mathrm{X}}}{m_{\alpha }}\approx 58,5$
• w chwili tuż przez opisanym rozpadem jądro plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$ było nieruchome
• wartości prędkości jądra pierwiastka $\mathrm{X}$ i cząstka $\alpha$ - powstałych po rozpadzie jądra plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$ - są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

Zadanie 12.3.

Próbka zawierająca izotop plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$ wytwarza energię w postaci ciepła na skutek rozpadu promieniotwórczego tego izotopu plutonu. Moc cieplną generowaną przez tę próbkę oznaczamy jako $P$.

Próbka $\mathcal{Z}$ - w pewnej chwili $t_0$ - wytwarzała moc cieplną równą $P_0=100\frac{\text{J}}{\text{s}}$.

Dokładnie po czasie $t=5\text{lat}$ od chwili $t_0$ moc cieplna spadła do wartości $P_t=96,13\frac{\text{J}}{\text{s}}$.

Przyjmij, że moc cieplna wytwarzana przez próbkę $\mathcal{Z}$ jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$ pozostających w próbce $\mathcal{Z}$.

Oblicz $T$ - czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}_{}^{}{}_{94}^{238}\mathrm{Pu}$. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w latach, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Wskazówka: 

1) Jeśli $a^c=b$ oraz $a>0$, $a\cancel{=}1$, $b>0$, to $c={\log }_{a}b$.

2) Możesz wykorzystać wzór: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{10}b}{{\log }_{10}a}$ dla $a>0$, $a\cancel{=}1$, $b>0$.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$P_0=100\frac{\text{J}}{\text{s}}$

$t=5\text{lat}$

$P_t=96,13\frac{\text{J}}{\text{s}}$

Szukane:

$T=?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie czasu połowicznego rozpadu izotopu plutonu. Zgodnie z treścią zadania mamy przyjąć, że moc cieplna $P$ wytwarzana przez próbkę jest wprost proporcjonalna do liczby jąder $N$ pozostających w próbce: