Naszym celem jest wyznaczenie sprawności pompy ciepła, o której mowa w zadaniu. Korzystamy z podanego wzoru:

$\eta =\frac{Q_{\text{odd}}}{W_{\text{całk}}}$

gdzie:

$\eta$ - sprawność urządzenia,

$Q_{\text{odd}}$ - ciepło oddane do odtoczenia,

$W_{\text{całk}}$ - różnica prac wykonanych przez gaz i nad gazem.

Potrzebną pracę urządzenia możemy wyznaczyć jako pole figury ograniczonej wykresem poszczególnych przemian gazowych. Obliczamy pole prostokąta ABCD.

$W_{\text{całk}}=\left(12-4\right)\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\cdot \left(3-1\right)\cdot 10^5\mathrm{Pa}=8\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\cdot 2\cdot 10^5\mathrm{Pa}=$

$=8\cdot {\left(10^{-1}\mathrm{m}\right)}^3\cdot 2\cdot 10^5\mathrm{Pa}=8\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3\cdot 2\cdot 10^5\mathrm{Pa}=16\cdot 10^2\mathrm{J}=1600\mathrm{J}$

Teraz wyznaczamy ciepła oddane przez gaz. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu, 

$V$ - objętość gazu, 

$n$ - liczba moli gazu, 

$R$ - stała gazowa, 

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Stąd:

$T=\frac{pV}{nR}$

Wyznaczamy temperatury gazu w poszczególnych stanach.

▶ stan A: $T_{\text{A}}=\frac{p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}}{nR}$,

▶ stan B: $T_{\text{B}}=\frac{p_{\text{B}}{V}_{\text{B}}}{nR}$,

▶ stan C: $T_{\text{C}}=\frac{p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}}{nR}$,

▶ stan D: $T_{\text{D}}=\frac{p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}}{nR}$.

Korzystając, z wykresu możemy ocenić, że:

$p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}=1\cdot 10^5\cdot 4=4\cdot 10^5$

$p_{\text{B}}{V}_{\text{B}}=1\cdot 10^5\cdot 12=12\cdot 10^5$

$p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}=3\cdot 10^5\cdot 12=36\cdot 10^5$

$p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}=3\cdot 10^5\cdot 4=12\cdot 10^5$

Zatem:

$p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}<p_{\text{B}}{V}_{\text{B}}=p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}<p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}$

Stąd:

$T_{\text{A}}<T_{\text{B}}=T_{\text{D}}<T_{\text{C}}$

Analizujemy przemiany gazu.

▶ przemiana A→B: gaz zwiększa swoją temperaturę i rozpręża się - gaz pobiera ciepło z otoczenia,

▶ przemiana B→C: gaz zwiększa swoją temperaturę i zachowuje objętość - gaz pobiera ciepło z otoczenia,

▶ przemiana C→D: gaz zmniejsza swoją temperaturę i jest sprężany - gaz oddaje ciepło do otoczenia,

▶ przemiana D→A: gaz zmniejsza swoją temperaturę i zachowuje objętość - gaz oddaje ciepło do otoczenia.

Ciepła oddane do otoczenia możemy wyrazić dla przemian izochorycznych i izobarycznych jako:

$Q=n{C}_V\Delta T$

$Q=n{C}_p\Delta T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$C_p$- ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

▶ Wyznaczamy ciepło oddane w przemianie D→A (przemiana izobaryczna).

${Q_{\text{D}\to \text{A}}=n{C}_V\Delta T}_{\text{D}\to \text{A}}$ 

Z treści zadania wiemy, że:

$C_V=\frac{5}{2}R$ 

Stąd:

${Q_{\text{D}\to \text{A}}=n\cdot \frac{5}{2}R\cdot \Delta T}_{\text{D}\to \text{A}}$ 

$Q_{\text{D}\to \text{A}}=\frac{5}{2}nR\left(T_{\text{D}}-T_{\text{A}}\right)$

 Podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności na temperatury:

$Q_{\text{D}\to \text{A}}=\frac{5}{2}\cancel{nR}\left(\frac{p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}}{\cancel{nR}}-\frac{p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}}{\cancel{nR}}\right)$

$Q_{\text{D}\to \text{A}}=\frac{5}{2}\left(p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}-p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}\right)$

▶ Wyznaczamy ciepło oddane w przemianie C→D (przemiana izobaryczna).

${Q_{\text{C}\to \text{D}}=n{C}_p\Delta T}_{\text{C}\to \text{D}}$

Korzystamy z zależności:

$C_p=C_V+R$

$C_p=\frac{5}{2}R+R=\frac{7}{2}R$

Stąd:

 ${Q_{\text{C}\to \text{D}}=n\cdot \frac{7}{2}R\cdot \Delta T}_{\text{C}\to \text{D}}$

$Q_{\text{C}\to \text{D}}=\frac{7}{2}nR\left(T_{\text{C}}-T_{\text{D}}\right)$

Podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności na temperatury:

$Q_{\text{C}\to \text{D}}=\frac{7}{2}\cancel{nR}\left(\frac{p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}}{\cancel{nR}}-\frac{p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}}{\cancel{nR}}\right)$

$Q_{\text{C}\to \text{D}}=\frac{7}{2}\left(p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}-p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}\right)$

 Otrzymujemy zatem, że ciepło oddane będzie równe:

$Q_{\text{odd}}=Q_{\text{D}\to \text{A}}+Q_{\text{C}\to \text{D}}$

$Q_{\text{odd}}=\frac{5}{2}\left(p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}-p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}\right)+\frac{7}{2}\left(p_{\text{C}}{V}_{\text{C}}-p_{\text{D}}{V}_{\text{D}}\right)$

 Możemy zapisać, że:

$p_{\text{B}}=p_{\text{A}}$

$p_{\text{D}}=p_{\text{C}}=3p_{\text{A}}$

oraz:

$V_{\text{C}}=V_{\text{B}}=3V_{\text{A}}$

$V_{\text{D}}=V_{\text{A}}$

Stąd:

$Q_{\text{odd}}=\frac{5}{2}\left(3p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}-p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}\right)+\frac{7}{2}\left(3p_{\text{A}}\cdot 3V_{\text{A}}-3p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}\right)$

$Q_{\text{odd}}=\frac{5}{2}\cdot 2p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}+\frac{7}{2}\left(9p_{\text{A}}\cdot V_{\text{A}}-3p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}\right)$

$Q_{\text{odd}}=\frac{5}{2}\cdot 2p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}+\frac{7}{2}\cdot 6p_{\text{A}}\cdot V_{\text{A}}$

$Q_{\text{odd}}=5p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}+21p_{\text{A}}\cdot V_{\text{A}}$

$Q_{\text{odd}}=26p_{\text{A}}{V}_{\text{A}}$

Odczytujemy odpowiednie wartości z wykresu:

$p_{\text{A}}=10^5\mathrm{Pa}=100000\mathrm{Pa}$

$V_{\text{A}}=4\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=4\cdot {\left(0,1\mathrm{m}\right)}^3=4\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3=0,004{\mathrm{m}}^3$

Obliczamy wartość ciepła oddanego:

$Q_{\text{odd}}=26\cdot 100000\mathrm{Pa}\cdot 0,004{\mathrm{m}}^3=10400\mathrm{J}$

Obliczamy szukaną sprawność pompy ciepła:

$\eta =\frac{Q_{\text{odd}}}{W_{\text{całk}}}$

$\eta =\frac{10400\mathrm{J}}{1600\mathrm{J}}=6,5$

Odpowiedź: Sprawność pompy ciepła we wskazanym cyklu wynosi $6,5$.