Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie punktu, w którym ciężarek uderzy walec i jaką wtedy posiada szybkość.

Początkowy układ jest następujący:

gdzie:

${\vec{v}}_0$ - wektor szybkości początkowej ciężarka.

$O$ - środek walca.

 

Wiemy, z treści zadania, że na rysunku w podręczniku wymiary nitki i promienia walca są rzeczywiste. Zatem korzystając z linijki możemy wyznaczyć długość nici. Wynosi ona:

$l=7,5\text{cm}=0,075\text{m}$ 

 

Aby wiedzieć, ile razy nić okrąży walec (aby wyznaczyć położenie punktu ciężarka w momencie zderzenia z walcem), musimy obliczyć obwód okręgu, który jest podstawą walca. Obliczamy go następująco:

$Obw=2\pi R$

gdzie:

$Obw$ - obwód okręgu,

$R$ - promień walca.

 

Z treści zadania wiemy, że promień walca wynosi:

$R=1,5\text{cm}=0,015\text{m}$

 

Obwód podstawy naszego walca wynosi:

$Obw=2\pi \cdot 0,015\text{m}$

$Obw=0,03\pi \text{m}$

$Obw\approx 0,09\text{m}$

 

Widzimy zatem, że obwód okręgu jest większy od długości nici. Oznacza to, że nie okrąża całkowicie walca. Zatacza łuk, którego długość jest równa długości nici. Przypomnijmy sobie, że wzór na długość łuku ma postać:

$l=R\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt, jaki zatacza łuk stworzony przez nić.

Przekształćmy powyższy wzór względem kąta i otrzymujemy:

$l=R\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}\mid \cdot \frac{360^{\circ }}{R}$

$\alpha =\frac{l}{R}\cdot 360^{\circ }$

 

Wstawiamy dane liczbowe do naszego wzoru i otrzymujemy:

$\alpha =\frac{0,075\cancel{\text{m}}}{0,09\cancel{\text{m}}}\cdot 360^{\circ }$

$\alpha =\frac{5}{6}\cdot 360^{\circ }$

$\alpha =300^{\circ }$

 

Zatem nasza nić zatoczy łuk o długości $0,075\text{m}$ i kącie równym około $300^{\circ }$. Kąt mierzymy od punktu zaczepienia nici. Zatem nasz układ na końcu ruchu wygląda następująco:

gdzie:

$O$ - środek podstawy walca,

$Z$ - punkt zaczepienia nici,

$P$ - punt, w który uderza ciężarek,

$\alpha$ - kąt, jaki zatacza ciężarek.

Teraz musimy obliczyć, z jaką szybkością ciężarek uderza w punkt $P$. Musimy tu skorzystać z zasady zachowania energii. Naszym poziomem odniesienie będzie wysokość, na jakiej zwisał ciężarek na początku ruchu. Posiadał on wtedy tylko energię kinetyczną.

 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

 

Na początku ruchu energia kinetyczna ciężarka miała wartość:

$E_{kp}=\frac{m{v}_0^2}{2}$

gdzie:

$E_{kp}$ - początkowa energia kinetyczna ciężarka,

$m$ - masa ciężarka,

$v_0$ - początkowa szybkość ciężarka.

 

Końcowa energia kinetyczna ciężarka byłą równa:

$E_{kk}=\frac{m{v}_k^2}{2}$

gdzie:

$E_{kk}$ - końcowa energia kinetyczna ciężarka,

$v_k$ - końcowa szybkość ciężarka.

 

Natomiast w momencie zderzenia ciężarek znajdował się na pewnej wysokości. Spróbujmy ją oszacować. Spójrzmy na nasz drugi rysunek. Gdyby znajdował się na punkcie $Z$ to jego wysokość wzrosłaby o długość nici. Ale widzimy, że jest wyżej, natomiast jest za nisko, aby doliczyć do zmiany wysokości promień okręgu. Jednakże przyjmując to założenie nie popełnimy dużego błędu obliczeniowego. 

 

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$E_p$  - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

 

Końcową energię potencjalną ciężarka możemy przybliżyć jako:

$E_p=mg\left(l+R\right)$

 

Zasada zachowania energii w naszym układzie ma postać:

$E_{kp}=E_{kk}+E_p$

Wstawiamy nasze wzory, przekształcamy względem końcowej szybkości ciężarka, i otrzymamy:

$\frac{m{v}_0^2}{2}=\frac{m{v}_k^2}{2}+mg\left(l+R\right)\mid :m$

$\frac{v_0^2}{2}=\frac{v_k^2}{2}+g\left(l+R\right)\mid -g\left(l+R\right)$

$\frac{v_k^2}{2}=\frac{v_0^2}{2}-g\left(l+R\right)\mid \cdot 2$

$v_k^2=v_0^2-2g\left(l+R\right)\mid \sqrt{}$

$v_k=\sqrt{v_0^2-2g\left(l+R\right)}$

 

Wstawiamy teraz dane liczbowe  do naszego wzoru na wartość prędkości końcowej ciężarka i otrzymujemy:

$v_k=\sqrt{{\left(2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,075\text{m}+0,015\text{m}\right)}$

$v_k=\sqrt{4\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-1,7658\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}$

$v_k=\sqrt{2,2342\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

 

Odpowiedź: 

Szybkość końcowa ciężarka wynosi $1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$.