Szukane:

$\left|O{F}^{\prime }\right|-\left|OF\right|=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie różnicy odległości pomiędzy punktami przecięcia promieni z osią optyczną. W tym celu chcemy znaleźć najbardziej skrajne położenia. Musimy więc obliczyć, w jakich miejscach oś optyczną przecinają promienie najbliższe oraz najdalsze od osi.

Zacznijmy od rozważenia przypadku ogólnego. Wiemy, że promień pada na zwierciadło pod pewnym kątem względem normalnej do powierzchni zwierciadła. Kąt odbicia jest równy kątowi padania. Odbity promień będzie przecinał oś optyczną pod kątem równym kątowi odbicia. Korzystając z tych informacji, możemy wykonać poniższy rysunek:

gdzie:

$h$ - odległość promienia od osi optycznej,

$F$ - punkt przecięcia promienia z osią optyczną,

$r$ - promień krzywizny zwierciadła,

$O$ - środek krzywizny zwierciadła,

$P$ - punkt na osi optycznej, nad którym promień styka się ze zwierciadłem,

$\alpha$ - kąt padania.

Jak widzimy, promień przecina oś optyczną w odległości równej drodze, jaką promień przebywa od środka krzywizny do powierzchni zwierciadła, pomniejszonej o odległość między punktami P i F. Możemy to zapisać jako:

$\left|OF\right|=\left|OP\right|-\left|PF\right|$

gdzie:

$\left|AB\right|$ - odległość między punktami A i B.

Jak widzimy, długość odcinka $\left|OP\right|$ stanowi podstawę trójkąta prostokątnego zbudowanego z normalnej oraz wysokości. W związku z tym długość tego odcinka możemy wyznaczyć, korzystając z odpowiedniej funkcji trygonometrycznej. Dla kąta α będzie to cosinus. W naszym zadaniu obliczymy ją z zależności:

$\cos \alpha =\frac{|OP|}{r}$ 

Przekształcamy powyższe równanie, aby otrzymać wzór na długość odcinka:

$\cos \alpha =\frac{|OP|}{r}|\cdot r$

$r\cos \alpha =|OP|$

$\left|OP\right|=r\cos \alpha$

Długość odcinka $\left|PF\right|$ możemy obliczyć korzystając z funkcji tangens:

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{h}{\left|PF\right|}$

Przekształcamy powyższe równanie, aby otrzymać wzór na długość odcinka:

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{h}{\left|PF\right|}|\cdot \left|PF\right|$

$\left|PF\right|\mathrm{tg}2\alpha =h|:\mathrm{tg}2\alpha$

$\left|PF\right|=\frac{h}{\mathrm{tg}2\alpha }$

Podstawiając otrzymane wcześniej wzory na długości poszczególnych odcinków do wyrażenia opisującego odcinek $\left|OF\right|$, dostajemy:

$\left|OF\right|=r\cos \alpha -\frac{h}{\mathrm{tg}2\alpha }$

$\sin \alpha =\frac{h}{r}$

Najbardziej odległy promień będzie znajdował się w odległości równej połowie promienia krzywizny (ponieważ promień światła ma średnicę równą temu promieniowi), zatem:

$h=\frac{r}{2}$

Podstawiając to do funkcji sinus:

$\sin \alpha =\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{\cancel{r}}{2\cancel{r}}=\frac{1}{2}$

Sinus przyjmuje taką wartość dla kąta $30^{\circ }$. W związku z tym wzór na długość odcinka OF ma postać:

$\left|OF\right|=r\cos \left(30^{\circ }\right)-\frac{\frac{r}{2}}{\mathrm{tg}\left(2\cdot 30^{\circ }\right)}=$

$=r\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{r}{2}\frac{1}{\mathrm{tg}\left(60^{\circ }\right)}=r\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{r}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}=$

$=r\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{r}{2}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{2}\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=$

$=\frac{r}{2}\frac{2\sqrt{3}}{3}=r\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dla promienia krzywizny, który znajduje się tuż przy osi optycznej, punkt przecięcia z promieniem osi optycznej oznaczymy jako $F^{\prime }$. Wówczas wzór na odległość tego punktu od środka krzywizny zwierciadła:

$\left|O{F}^{\prime }\right|=r\cos \alpha -\frac{h}{\mathrm{tg}2\alpha }$

Dla promieni padających na zwierciadło blisko osi optycznej kąt padania jest bardzo mały. Dla małych kątów możemy zastosować przybliżenia:

$\sin \alpha \approx \alpha$

$\mathrm{tg}2\alpha \approx 2\alpha$

W naszym przypadku sinus wynosi:

$\sin \alpha =\frac{h}{R}⟹\alpha \approx \frac{h}{R}$

W związku z tym możemy zapisać, że:

$\mathrm{tg}2\alpha \approx 2\alpha =\frac{2h}{R}$

Skoro kąt jest mały to dla cosinusa mamy:

$\cos \alpha =1$

Podstawiając powyższe zależności do wzoru na odległość punktu przecięcia promienia z osią optyczną od środka krzywizny zwierciadła, otrzymujemy:

$\left|O{F}^{\prime }\right|=r\cdot 1-\frac{\cancel{h}}{\frac{2\cancel{h}}{r}}=r-\frac{r}{2}=\frac{r}{2}$

Odległość między tymi dwoma punktami będzie dana:

$|O{F}^{\prime }|-|OF|=r\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{2}=r\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}\right)$

Odpowiedź: Maksymalna odległość między ogniskami wynosi $r\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}\right)$.