Dane:

$R=20\Omega$  

$U_{\max }=10\text{V}$  

$f=20\text{Hz}$  

Szukane:

Wykres zależności natężenia prądu płynącego w przedziale czasu $0-0,1\text{s}$.

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności natężenia prądu we wskazanym przedziale czasu.

W pierwszej kolejności narysujmy schemat opisany w treści zadania:

Wyznaczmy też okres zmian napięcia korzystając ze wzoru:

$T=\frac{1}{f}$  

gdzie:

$T$ - okres,

$f$  - częstotliwość.

Po podstawieniu otrzymujemy:

$T=\frac{1}{20\text{Hz}}=0,05\text{s}$  

Pierwszy pół okres

Zgodnie z treścią zadania w pierwszym półokresie na zacisku 1 znajduje się plus, natomiast na zacisku 2 - minus. Zatem zgodnie z przyjętą konwencją prąd płynie od plus do minusa:

Widzimy, że dioda nie blokuje przepływu prądu. Zatem zgodnie z prawem Ohma maksymalna wartość natężenia opisywana jest wzorem:

$I_{\max }=\frac{U_{\max }}{R}$  

gdzie:

$I_{\text{max}}$ - maksymalna wartość natężenia,

$U_{\max }$  - maksymalna wartość napięcia,

$R$  - opór obwodu.

Podstawiamy dane i obliczamy:

$I_{\max }=\frac{10\text{V}}{20\Omega }=0,5\text{A}$  

PRĄD PRZEMIENNY - NATĘŻENIE Natężenie chwilowe prądu przemiennego wyrażamy jako: $I\left(t\right)=I_{\max }\sin \left(\omega t+\varphi \right)$ gdzie: $I$ - natężenie chwilowe, $I_{\max }$ - natężenie maksymalne, $\omega$ - częstość kołowa zmian napięcia, $t$ - czas, $\varphi$ - faza początkowa.

W treści zadania nie jest powiedziane nic o fazie więc możemy przyjąć ją jako 0:

$\varphi =0$  

Częstość zmian prądu jest związana z częstotliwością zależnością:

$\omega =2\pi f$  

oraz z okresem zależnością:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

Zatem wzór na wartość natężenia w dowolnej chwili  $t$  dla układu pierwszego opisuje wzór (pomijamy jednostki):

$I\left(t\right)=0,5\sin \left(2\pi 20t\right)$  

$I\left(t\right)=0,5\sin \left(40\pi t\right)$  

Możemy narysować tą funkcję trygonometryczną pamiętając o tym, że okres zmian jest taki sam jak okres zmian napięcia, czyli:

$T=0,05\text{s}$  

Chcąc narysować ten wykres posłużymy się kilkoma punktami odniesienia oraz właściwościami funkcji sinus:

▶ Chwila początkowa:

$t=0$  

$I\left(t\right)=0$  

▶ Największa wartość:

$t=\frac{1}{4}T$  

$t=\frac{1}{4}\cdot 0,05\text{s}=0,0125\text{s}$  

$I\left(t\right)=I_{\max }$  

$I\left(t\right)=0,5\text{A}$  

▶ Połowa okresu:

$t=\frac{1}{2}T$  

$t=\frac{1}{2}\cdot 0,05\text{s}=0,025\text{s}$  

$I\left(t\right)=0$  

▶ Najmniejsza wartość:

$t=\frac{3}{4}T$  

$t=\frac{3}{4}\cdot 0,05\text{s}=0,0375\text{s}$  

$I\left(t\right)=-I_{\max }$  

$I\left(t\right)=-0,5\text{A}$  

▶ Cały okres:

$t=T$  

$t=0,05\text{s}$  

$I\left(t\right)=0$  

I wyznaczamy analogicznie punkty aż do 0,1 sekundy.

Mamy więc:

Następnie łączymy te punkty tak jak przebiega funkcja sinus:

Zauważmy też, że napięcie w tym kierunku (czyli plus na zacisku 1 oraz minus na zacisku 2) jest przyłożone w pierwszym półokresie. Zatem nas interesują jedynie zakresy funkcji:

$t_1\in \left(0,0.025\right)\text{s}$  

oraz

$t_2\in \left(0.5,0.075\right)\text{s}$  

Zatem ostatecznie powinniśmy narysować wartości natężenia  w tym przedziale czasu, jak pokazano na rysunku poniżej:

Teraz musimy zająć się drugą połową okresu, ponieważ wtedy napięcie jest przyłożone odwrotnie, czyli minus na zacisku 1 oraz plus na zacisku 2.

Drugi pół okres

Zauważmy, że jeżeli przyłożymy teraz napięcie odwrotnie to prąd natrafi na przeszkodę w postaci diody (polaryzacja w kierunku zaporowym):

Zatem przez układ nie będzie płynął w ogóle prąd:

$I\left(t\right)=0$  

W tym przypadku interesują nas tylko zakresy:

$t_1\in \left(0.025,0.05\right)\text{s}$  

oraz

$t_4\in \left(0.75,0.01\right)\text{s}$  

Możemy teraz dołączyć ten zakres do wykresu dla pierwszej połowy okresu.

Odpowiedź:

Ostatecznie otrzymujemy: