Po otwarciu klucza K w obwodzie...- Zadanie 3.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest uzupełnienie tabeli.

W przypadku otwartego klucza wyłączony z obwodu zostanie opornik 3., gdyż przez ramię zawierające ten opornik nie będzie płynął prąd Z treści zadania wiemy, że:

$R_{1} = R_{2} = R_{3} = R_{4} = R$

Przyłożone napięcie również wynosi $U$ . Zaznaczmy natężenia prądów na rysunku 2 oraz nazwijmy węzły:

gdzie:

$I^{'}$ - natężenie prądu płynące przez obwód,

$I_{1}^{'}$ , $I_{4}^{'}$ - natężenia prądu płynące przez części obwodu połączone równolegle.

Wyznaczmy natężenia prądu płynące przez części obwodu połączone równolegle.

PRAWO OHMA

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas natężenie prądu płynącego w przewodniku (lub urządzeniu) możemy przedstawić wzorem:

$I = \frac{U}{R}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie,

$U$ - napięcie, do jakiego podłączono urządzenie lub przewód,

$R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu.

W połączeniach równoległych napięcia na węzłach są takie same. Z prawa Ohma możemy zapisać, że:

$I_{4}^{'} = \frac{U}{R _{4}}$

Zatem:

$I_{4}^{'} = \frac{U}{R}$

Oporniki $R_{1}$ oraz $R_{2}$ są połączone szeregowo.

POŁĄCZENIE SZEREGOWE OPORNIKÓW

Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy, korzystając ze wzoru:

$R_{z} = i = 1 \sum n R_{i}$

gdzie:

$R_{z}$ - opór zastępczy układu,

$R_{i}$ - opór składowego (i-tego) opornika w układzie,

$i$ - indeks (wskaźnik) numerujący kolejne oporniki w układzie,

$n$ - liczba oporników w układzie.

Opór zastępczy oporników 1 i 2 jest wówczas równy:

$R_{1, 2} = R_{1} + R_{2}$

$R_{1, 2} = R + R$

$R_{1, 2} = 2 R$

Następnie wyznaczamy opór zastępczy dla całego obwodu.

POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE OPORNIKÓW

Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy, korzystając ze wzoru:

$\frac{1}{R _{z}} = i = 1 \sum n \frac{1}{R _{i}}$

gdzie:

$R_{z}$ - opór zastępczy układu,

$R_{i}$ - opór składowego (i-tego) opornika w układzie,

$i$ - indeks (wskaźnik) numerujący kolejne oporniki w układzie,

$n$ - liczba oporników w układzie.

$\frac{1}{R _{z} ^{'}} = \frac{1}{R _{1, 2}} + \frac{1}{R _{4}}$

gdzie:

$R_{z}^{'}$ - opór zastępczy układu przy otwartym kluczu K.

$\frac{1}{R _{z} ^{'}} = \frac{1}{2 R} + \frac{1}{R}$

$\frac{1}{R _{z} ^{'}} = \frac{1}{2 R} + \frac{2}{2 R}$

$\frac{1}{R _{z} ^{'}} = \frac{3}{2 R}$

$R_{z}^{'} = \frac{2}{3} R$

Oznacza to, że:

$I^{'} = \frac{U}{R _{z} ^{'}}$

$I^{'} = \frac{U}{\frac{2}{3} R}$

$I^{'} = \frac{3}{2} \frac{U}{R}$

I PRAWO KIRCHHOFFA

Suma natężeń prądów wpływających do węzła obwodu elektrycznego, jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

$i = 1 \sum n I_{i} = k = 1 \sum m I_{k}$

gdzie:

$I_{i}$ - natężenie i-tego prądu wpływającego do węzła,

$I_{k}$ - natężenie k-tego prądu wypływającego z węzła.

Zgodnie z I prawem Kirchhoffa dla węzła $A$ otrzymujemy:

$I_{1}^{'} + I_{4}^{'} = I^{'}$

$I_{1}^{'} = I^{'} - I_{4}^{'}$

Podstawiając wcześniej wyprowadzone zależności:

$I_{1}^{'} = \frac{3}{2} \frac{U}{R} - \frac{U}{R}$

$I_{1}^{'} = \frac{1}{2} \frac{U}{R}$

Przez elementy obwodu połączone szeregowo przepływa prąd o tym samym natężeniu, zatem:

$I_{2}^{'} = I_{1}^{'}$

Więc:

$I_{2}^{'} = \frac{1}{2} \frac{U}{R}$

Przeanalizujmy teraz nad napięcia. Wiemy, że napięcie pomiędzy węzłami $A$ i $D$ jest takie samo dla każdej z gałęzi, czyli:

$U_{1}^{'} = U_{1, 2}^{'} = U$

Ponadto napięcie pomiędzy węzłami $A$ i $D$ jest równe sumie napięć pomiędzy węzłami $A$ i $B$ (na oporniku 1) oraz $B$ i $D$ (na oporniku 2):

$U_{1, 2}^{'} = U_{1}^{'} + U_{2}^{'}$

$U_{1}^{'} + U_{2}^{'} = U$

Skorzystajmy z prawa Ohma:

NAPIĘCIE

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas napięcie na końcach przewodu (lub urządzenia) możemy przedstawić wzorem:

$U = R I$

gdzie:

$U$ - napięcie, do jakiego podłączono urządzenie/przewód.

$R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

$U_{1}^{'} = R_{1} I_{1}^{'}$

$U_{1}^{'} = R \cdot \frac{1}{2} \frac{U}{R}$

$U_{1}^{'} = \frac{1}{2} U$

Wówczas:

$U_{2}^{'} = U - U_{1}^{'}$

$U_{2}^{'} = U - \frac{1}{2} U$

$U_{2}^{'} = \frac{1}{2} U$

Z połączeń równoległych już ustaliliśmy, że:

$U_{4}^{'} = U$

Z poprzedniego zadania wiemy, że:

$I_{1} = \frac{2}{3} \frac{U}{R}$

$2 I_{2} = I_{1} ∣ : 2$

$I_{2} = \frac{1}{2} I_{1}$

$I_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \frac{U}{R}$

$I_{2} = \frac{1}{3} \frac{U}{R}$

$I_{4} = \frac{U}{R}$

Podsumowując napięcia na opornikach wynoszą:

$U_{4} = U$

$U_{1} + U_{2, 3} = U$

$U_{2, 3} = U_{2} = U_{3}$

Ponieważ:

$U_{1} = R_{1} I_{1}$

$U_{1} = R \cdot \frac{2}{3} \frac{U}{R}$

$U_{1} = \frac{2}{3} U$

Po podstawieniu otrzymujemy:

$U_{1} + U_{2, 3} = U$

$U_{2} = U_{3} = U - U_{1}$

$U_{2} = U - \frac{2}{3} U = \frac{1}{3} U$

Oznacza to, że:

$I_{1} > I_{1}^{'}$

$I_{2} < I_{2}^{'}$

$I_{4} = I_{4}^{'}$

$U_{1} > U_{1}^{'}$

$U_{2} < U_{2}^{'}$

$U_{4} = U_{4}^{'}$

Uzupełniamy tabelę na podstawie powyższych rozważań.

Odpowiedź:

Opornik	Natężenie prądu (zmalało / wzrosło / nie zmieniło się)	Napięcie (zmalało / wzrosło / nie zmieniło się)
$R_{1}$	zmalało	zmalało
$R_{2}$	wzrosło	wzrosło
$R_{4}$	nie zmieniło się	nie zmieniło się