Naszym zadaniem jest zapisanie w najprostszej postaci równanie, które opisuje wartość natężenia pola w punkcie S. Przyjmujemy, że mamy określone następujące wielkości:

promień dużej kuli ,
promień wydrążonej kuli ,
gęstość objętościowa ładunku kul .

Zgodnie z treścią zadania interesuje nas natężenie pola w punkcie S, gdy obie kule zostały naelektryzowane ładunkiem o tej samej gęstości objętościowej . Wówczas kula z wydrążonym kulistym otworem jest źródłem pola o natężeniu , a mała kula jest źródłem pola o natężeniu . Wynika z tego, że w punkcie S natężenie pola będzie złożeniem natężeń pól z obu kul. Wektorowo zapiszemy:

Zauważmy jednak, że kule są naładowane ładunkiem o tym samym znaku, zatem kierunki wektorów natężeń będą w punkcie S miały ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot. Wówczas wartość wypadkowego natężenie pola w punkcie S będzie różnicą pomiędzy wartościami natężeń pól pochodzących od poszczególnych kul. Zapiszemy więc:

Teraz przejdziemy do określenia wzoru na wartość natężenia pola elektrycznego w punkcie S, którego źródłem jest każda z kul. W tym celu posłużymy się ogólnym wzorem na wartość natężenia pola elektrycznego.

WARTOŚĆ NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO

Wartość natężenia centralnego pola elektrycznego w danym punkcie pola wyznaczamy, korzystając ze wzoru:

gdzie:

- wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

- współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

- wartość ładunku będącego źródłem pola,

- odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

Wartość natężenia pola z większej kuli

Zgodnie z treścią zadania podane mamy, że wewnątrz kuli o promieniu został wydrążony kulisty otwór. Teraz załóżmy, że rozważamy pewien punkt w tym wydrążonym obszarze. W tym obszarze ładunek jest zerowy i nie żadnego materiału. Jednak otwór ten jest wewnątrz kuli, której gęstość objętościowej ładunku wynosi . Wówczas, jeżeli chcemy, aby ładunek w tym obszarze był zerowy, to musimy interpretować, że ta wydrążona objętość ma gęstość objętościową ładunku . Wówczas wartość natężenia pola wytwarzanego przez dużą kulę z wydrążeniem jest równa różnicy pomiędzy wartością natężenia całej kuli o promieniu i gęstości objętościowej a małej kuli w niej wydrążonej o promieniu i gęstości objętościowej . Zapiszemy więc:

gdzie:

- wartość natężenia dużej kuli z wydrążeniem,

- wartość natężenia kuli bez wydrążenia,

- wartość natężenia wydrążonej małej kuli.

Teraz przejdźmy do wyznaczenia wzorów na poszczególne wartości natężeń pól. Interesuje nas punkt S, czyli na powierzchni dużej kuli, gdzie odległość między punktem S a środkiem dużej kuli wynosi . Wówczas wzór na natężenie pola dużej kuli w punkcie S ma postać:

gdzie:

- wartość natężenia wytwarzanego przez dużą kulę,

- wartość ładunku zgromadzony na dużej kuli,

- promień dużej kuli.

Teraz interesuje nas wydrążona kula. Odległość punktu S od wydrążenia jest równe , zatem wzór na natężenie pola małej (wydrążonej) kuli w punkcie S ma postać:

gdzie:

- wartość natężenia wytwarzanego przez małą kulę,

- wartość ładunku zgromadzony na małej wydrążonej kuli,

- promień małej wydrążonej kuli.

Zgodnie z naszymi rozważaniami gęstości objętościowe ładunku na każdej z tych kul mają tę samą wartość, ale przeciwne znaki. Jednak ten minus uwzględniliśmy już we wzorze na wartość natężenia , zatem teraz skupiamy się jedynie na wartościach ładunku. Oznacza to, że pomijamy już znaki ładunków na każdej z kul.

GĘSTOŚĆ

Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że:

gdzie:

- gęstość ciała,

- masa ciała,

- objętość ciała.

Powyższy wzór opisuje gęstość objętościową materii danego ciała, natomiast nas interesuje objętościowa gęstość ładunku, czyli stosunek całkowitego ładunku do całkowitej objętości:

gdzie:

- gęstość objętościowa ładunku,

- całkowita wartość ładunku,

- objętość w jakiej zgromadzony jest ładunek.

Przekształcamy powyższy wzór:

KULA - OBJĘTOŚĆ

Objętość kuli obliczamy, korzystając ze wzoru:

gdzie:

- objętość kuli,

- liczba pi,

- promień kuli.

Zapiszemy więc, że wzór na wartość ładunku, który został nagromadzony na dużej kuli o promieniu , przyjmuję postać:

Natomiast wzór na wartość ładunku, który został nagromadzony na małej wydrążonej kuli o promieniu , przyjmuję postać:

Wracamy do wzoru na wartość natężenia pola pochodzący od wydrążonej kuli w punkcie S:

Wartość natężenia z małej kuli

W poprzednim kroku wyznaczyliśmy wartość natężenia pola elektrycznego dla kuli o promieniu i o gęstości objętościowej ładunku . Teraz interesuje nas kula o promieniu , której gęstość objętościowego ładunku również wynosi . Wówczas, zgodnie z poprzednimi rozważaniami, ładunek zgromadzony na tej kuli opisuje wzór:

Z rysunku podanego w treści zadania odczytujemy, że odległość środka małej kuli od punktu S wynosi:

Wówczas wzór na wartość natężenia pola w punkcie S pochodzącego z małej kuli przyjmuję postać:

Wartość natężenia wypadkowego pola w punkcie S

Wracamy do równania na natężenie wypadkowego pola w punkcie S:

Podstawiamy wyznaczone wzory:

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium