TREŚĆ:

Zadanie 6.

Przypuśćmy, że w pewnej galaktyce astronauci odkryli kulistą planetę, której masa jest dokładnie 3 razy mniejsza od masy Ziemi. Zmierzono promień planety $4,59\cdot 10^6\mathrm{m}$ oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości $1\mathrm{m}$ na równiku i na biegunie tej planety.

Otrzymane wyniki pomiarów zamieszczono w środkowej kolumnie tabeli. 

Szerokość geograficzna	Okres wahadła $\left(\mathrm{s}\right)$	Przyspieszenie swobodnego spadku $\left(\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right)$
$0^{\circ }$ (równik)	$2,52$	$6,22$
$90^{\circ }$ (biegun)	$2,50$	$6,31$

Zadanie 6.1

Wykaż, że podana wartość przyspieszenia swobodnego spadku na biegunie jest zgodna z zamieszczonymi wyżej informacjami o planecie.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$M=\frac{1}{3}{M}_z$  

$R=4,59\cdot {10}^6\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ masa Ziemi: $M_z=5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$ .

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$ .

Szukane:

$g=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego obliczamy, korzystając ze wzoru:

$a_g=\frac{GM}{r^2}$  

gdzie:

$a_g$   - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$G$  -  stała grawitacji,

$M$  - masa ciała wytwarzającego grawitację,

$r$  - odległość punktu, w którym badamy przyspieszenie grawitacyjne od środka masy.

W naszym przypadku rozpatrujemy przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni zadanej planety.

$a_g=\frac{G\cdot \frac{1}{3}{M}_z}{R^2}$  

$a_g=\frac{G{M}_z}{3R^2}$  

Zatem:

$a_g=\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^{\cancel{2}}}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\cancel{\text{kg}}}{3\cdot {\left(4,59\cdot {10}^6\text{m}\right)}^2}=\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{\cancel{{\text{m}}^2}}{\cancel{\text{kg}}}}{63,2043\cdot {10}^{12}\cancel{{\text{m}}^2}}\approx 0,63\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=6,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Wyznaczona wartość przyspieszenia grawitacyjnego na planecie jest zgodna z podaną wartością przyspieszenia spadku swobodnego.