Dane:

$V_1=1\mathrm{l}=1{\mathrm{dm}}^3=0,001{\mathrm{m}}^3$

$V_2=2\mathrm{l}=2\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=0,002{\mathrm{m}}^3$

Szukane:

$\frac{p_1}{p_2}=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie stosunku ciśnień hydrostatycznych przed i po otwarciu zaworu.

Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p_h=dgh$  

gdzie:

$p_h$  - ciśnienie hydrostatyczne,

$d$  - gęstość cieczy,

$g$  - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$h$  - wysokość cieczy.

Wysokość cieczy w zależności od jej objętości możemy zapisać wzorem:

$h=\frac{V}{S}$  

gdzie:

$h$  - wysokość cieczy,

$V$  - objętość cieczy,

$S$  - pole powierzchni na jaką działa ta ciecz.

Stosunek ciśnień hydrostatycznych przed otwarciem zaworu:

Zauważmy, że w naszym przypadku ciecz działa na takie same pola powierzchni:

$S_1=S_2=S$  

Wówczas ciśnienie wywierane na dno naczynia 1 wynosi:

$p_1=dg{h}_1$  

$p_1=dg\frac{V_1}{S}$  

Ciśnienie wywierane na dno naczynia 2 ma postać:

$p_2=dg{h}_2$  

$p_2=dg\frac{V_2}{S}$  

Wówczas stosunek ciśnień hydrostatycznych wynosi:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{dg\frac{V_1}{S}}{dg\frac{V_2}{S}}$  

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_1}{V_2}$  

Wstawiamy dane z treści zadania i obliczamy:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{0,001{\text{m}}^3}{0,002{\text{m}}^3}=\frac{1}{2}=0,5$  

Stosunek ciśnień hydrostatycznych po otwarciu zaworu:

Po otwarciu zaworu objętość cieczy i ich wysokości w obu naczyniach wyrówna się. Z tego wynika, że:

$h_1=h_2=h$  

Ciśnienia w poszczególnych naczyniach będą miały postać:

$p_1^{\prime }=dgh$  

$p_2^{\prime }=dgh$  

Otrzymujemy, że stosunek ciśnień będzie miał postać:

$\frac{p_1^{\prime }}{p_2^{\prime }}=\frac{dgh}{dgh}$  

$\frac{p_1^{\prime }}{p_2^{\prime }}=1$  

Odpowiedź: Stosunek ciśnień hydrostatycznych przed otwarciem zaworu wynosi $0,5$, natomiast po otwarciu zaworu wynosi $1$.