Dane:

$d_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$d_g=1260\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$\frac{V_z}{V_c}=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, jaka część kuli z naszego zadania będzie zanurzona w glicerynie.

Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=dgV$  

gdzie: 

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$d$  - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$  - objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. 

Siły działające na kulę pływającą w wodzie są równoważne. Oznacza to, że wartość siły ciężkości kuli jest równa wartości siły wyporu wody:

$F_g=F_{w_w}$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$F_{w_w}$- wartość siły wyporu wody,

Wiemy, że w wodzie kula pływa całkowicie zanurzona. Zatem wzór na wartość siły wyporu wody ma postać:

$F_{w_w}=d_{w}g{V}_c$  

gdzie:

$d_w$ - gęstość wody,

$V_c$  - objętość całkowita kuli.

Z drugiej strony, gdy kula pływa w glicerynie wartość siły ciężkości również jest równoważona, ale przez wartość siły wyporu gliceryny:

$F_g=F_{w_g}$  

gdzie:

$F_{w_g}$ - wartość siły wyporu gliceryny.

Wartość siły wyporu gliceryny jest dana wzorem:

$F_{w_g}=d_{g}g{V}_z$  

gdzie:

$d_g$ - gęstość gliceryny,

$V_z$  - objętość zanurzonej kuli.

Mamy więc:

$F_g=F_{w_w}$  

$F_g=F_{w_g}$  

Zatem:

$F_{w_g}=F_{w_w}$  

$d_{g}g{V}_z=d_{w}g{V}_c$  

$d_g\cancel{g}{V}_z=d_w\cancel{g}{V}_c$  

$d_g{V}_z=d_w{V}_c\mid d_g$  

$V_z=\frac{d_w}{d_g}{V}_c\mid V_c$  

$\frac{V_z}{V_c}=\frac{d_w}{d_g}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$\frac{V_z}{V_c}=\frac{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{1260\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}\approx 0,79$  

Odpowiedź: Pod powierzchnią gliceryny znajdzie się około $0,79$ części całkowitej objętości kuli.