Dane:

$f_0=3000\text{Hz}$

$f=3050\text{Hz}$

$v_{\text{dzˊ}}=330\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Szukane:

$v_{\text{k}}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości prędkości, z jaką porusza się kuter, jeżeli odbierana częstotliwość przez rybaka wynosi $f$, natomiast generowany przez syrenę dźwięk ma częstotliwość $f_0$. Zauważmy, że mamy do czynienia ze zjawiskiem Dopplera.

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać:

$f=f_0\frac{v\pm v_o}{v\mp v_{\acute{z}}}$

gdzie: 

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora, 

$f_0$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,  

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),  

$v_o$ - szybkość, z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,  

$v_{\acute{z}}$ - szybkość, z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

W treści zadania mamy podane, że rybak płynie w stronę nieruchomego statku, zatem rozważamy poruszającego się obserwatora, który zbliża się do nieruchomego źródła. Częstotliwość odbieraną przez takiego obserwatora opisuje wzór:

$f=f_0\frac{v_{\text{dzˊ}}+v_{\text{k}}}{v_{\text{dzˊ}}}$

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby otrzymać wzór na wartość prędkości  $v_{\text{k}}$, z jaką porusza się kuter, zatem:

$f_0\frac{v_{\text{dzˊ}}+v_{\text{k}}}{v_{\text{dzˊ}}}=f|:f_0$

$\frac{v_{\text{dzˊ}}+v_{\text{k}}}{v_{\text{dzˊ}}}=\frac{f}{f_0}|\cdot v_{\text{dzˊ}}$

$v_{\text{dzˊ}}+v_{\text{k}}=\frac{f}{f_0}{v}_{\text{dzˊ}}|-v_{\text{dzˊ}}$

$v_{\text{k}}=\frac{f}{f_0}{v}_{\text{dzˊ}}-v_{\text{dzˊ}}$

$v_{\text{k}}=\left(\frac{f}{f_0}-1\right)v_{\text{dzˊ}}$

$v_{\text{k}}=\left(\frac{f}{f_0}-\frac{f_0}{f_0}\right)v_{\text{dzˊ}}$

$v_{\text{k}}=\left(\frac{f-f_0}{f_0}\right)v_{\text{dzˊ}}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$v_{\text{k}}=\left(\frac{3050\text{Hz}-3000\text{Hz}}{3000\text{Hz}}\right)\cdot 330\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{50\cancel{\text{Hz}}\cdot 330\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3000\cancel{\text{Hz}}}=$

$=\frac{16500}{3000}\frac{\text{m}}{\text{s}}=5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Kuter porusza się z prędkością o wartości $5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$.