Ciężarek zawieszony na...- Zadanie 9: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest zaznaczenie na pionowej linii przerywanej na rysunku przybliżone położenie oraz wektory prędkości, oraz przyspieszenia ciężarka po czasie $t = 2, 75 s = 2 \frac{3}{4} s = \frac{11}{4} s$ od chwili początkowej. Na rysunku mamy przedstawione położenie ciężarka w chwili początkowej $t_{0} = 0 s$ , czyli jego położenie będzie wynosić wówczas :

$x_{0} = - A$

gdzie:

$t_{0}$ - chwila początkowa,

$x_{0}$ - położenie w chwili początkowej,

$A$ - amplituda drgań ciężarka.

Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x (t) = A sin (ω t + φ)$

gdzie:

$x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi,

$A$ - amplituda drgań,

$ω$ - częstość drgań,

$φ$ - faza ruchu,

$t$ - czas ruchu.

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$ω$ - częstość kołowa drgań,

$π$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Wyznaczmy fazę drgań dla tego ciężarka, podstawmy znane nam dane w chwili początkowej:

$x_{0} = A sin (ω t_{0} + φ)$

$- A = A sin (\frac{2 π}{T} \cdot 0 + φ) ∣ : A$

$- 1 = sin (0 + φ)$

$- 1 = sin (φ)$

$sin φ = - 1$

funkcja sinus przyjmuje wartość $- 1$ dla:

$φ = \frac{3}{2} π$

Zgodnie z treścią zadania wykonuje drgania o okresie $T = 2 s$ , oraz amplitudzie $A$ . Zatem położenie ciężarka po podanym czasie będzie wynosiło:

$x = A sin (\frac{2 π}{T} t + φ)$

$x = A sin (\frac{2 π}{2 s} \cdot \frac{11}{4} s + \frac{3}{2} π)$

$x = A sin (\frac{11}{4} π + \frac{3}{2} π)$

$x = A sin (\frac{11}{4} π + \frac{6}{4} π)$

$x = A sin (\frac{17}{4} π)$

Skorzystajmy ze wzoru redukcyjnego $sin (k \cdot 2 π + α) = sin α$ , dla $k \in Z$ :

$x = A sin (\frac{16}{4} π + \frac{1}{4} π)$

$x = A sin (4 π + \frac{1}{4} π)$

$x = A sin (2 \cdot 2 π + \frac{1}{4} π)$

$x = A sin (\frac{π}{4})$

Wartość $sin (\frac{π}{4})$ wynosi $\frac{2}{2}$ , zatem:

$x = \frac{2}{2} A \approx 0, 71 A$

Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v (t) = A ω cos (ω t + φ)$

gdzie:

$v (t)$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,

$t$ - czas,

$A$ - amplituda,

$ω$ - częstość drgań,

$φ$ - faza ruchu.

Podstawmy znane nam już wielkości, pomińmy podstawowe jednostki układu SI:

$v (t) = A \cdot \frac{2 π}{2} \cdot cos (\frac{2 π}{2} \cdot \frac{11}{4} + \frac{3}{2} π)$

$v (t) = A \cdot cos (\frac{11}{4} π + \frac{3}{2} π)$

$v (t) = A cos (\frac{17}{4} π)$

$v (t) = A cos (4 π + \frac{1}{4} π)$

Skorzystajmy ze wzoru redukcyjnego $cos (k \cdot 2 π + α) = cos α$ , dla $k \in Z$ :

$v (t) = A cos (\frac{π}{4})$

Wartość $cos (\frac{π}{4})$ wynosi $\frac{2}{2}$ , zatem:

$v (t) = \frac{2}{2} A \approx 0, 71 A$

Prędkość ma dodatnią wartość, wówczas wektor prędkości skierowany jest do góry.

Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$a (t) = - A ω^{2} sin (ω t + φ)$

gdzie:

$a (t)$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie,

$t$ - czas,

$A$ - amplituda,

$ω$ - częstość drgań,

$φ$ - faza ruchu.

Podstawmy $ω = \frac{2 π}{T}$ :

$a (t) = - A \cdot (\frac{2 π}{T})^{2} \cdot sin (\frac{2 π}{T} \cdot t + φ)$

$a (t) = - A \cdot \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} \cdot sin (\frac{2 π}{T} \cdot t + φ)$

Podstawmy znane nam już wielkości, pomińmy podstawowe jednostki układu SI:

$a (t) = - A \cdot \frac{4 π ^{2}}{2 ^{2}} \cdot sin (\frac{2 π}{2} \cdot \frac{11}{4} + \frac{3}{2} π)$

$a (t) = - A \cdot \frac{4 π ^{2}}{4} \cdot sin (\frac{11}{4} π + \frac{3}{2} π)$

$a (t) = - A π^{2} \cdot sin (\frac{17}{4} π)$

Skorzystajmy ze wzoru redukcyjnego $sin (k \cdot 2 π + α) = sin α$ , dla $k \in Z$ ⁣:

$a (t) = - A π^{2} \cdot sin (\frac{π}{4})$

Wartość $sin (\frac{π}{4})$ wynosi $\frac{2}{2}$ , zatem:

$a (t) = - \frac{2}{2} π^{2} A$

$a (t) \approx - 0, 71 \cdot 9, 8596 A$

$a (t) \approx - 7 A$

Przyspieszenie ma ujemną wartość, wówczas wektor przyspieszenia skierowany jest w dół. Zaznaczmy położenie oraz wektory prędkości i przyspieszenia na przerywanej linii na rysunku: