Dane:

$m=20\text{kg}$

$\alpha =25°$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$F=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest określenie wartości siły, z jaką pracownik działał na linę, gdy deska tworzyła z poziomym podłożem kąt $25°$. Rozważamy sytuację, w której deska jest nieruchoma. Aby bryła sztywna pozostawała w spoczynku, siły działające na nią muszą się równoważyć oraz momenty sił działających na nią muszą się równoważyć. Skorzystajmy z rysunku pomocniczego:

gdzie:

$\overrightarrow{F}$   - siła z jaką jest ciągnięta lina,

${\overrightarrow{F_c}}_{}$   - siła ciężkości deski,

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ - kąty między odpowiednimi elementami konstrukcji.

Z rysunku do zadania wynika, że:

$\beta ={90}^{\circ }-\alpha$

$\delta =\beta ={90}^{\circ }-\alpha$  

$\gamma ={180}^{\circ }-\beta =$   

$={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=$

$={180}^{\circ }-{90}^{\circ }+\alpha =$

$={90}^{\circ }+\alpha$

Momentem siły $\vec{F}$  działającym w punkcie obrotu nazywamy wielkość wektorową $\vec{M}$  zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora ramienia siły i wektora siły $\vec{F}$ :

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$  

gdzie:

$\vec{M}$   - moment siły,

$\vec{r}$  - wektor ramienia siły,

$\vec{F}$  - wektor siły. 

Wartość momentu siły będzie miała postać:

$M=rF\sin \alpha$  

gdzie:

  $\alpha$  jest kątem pomiędzy wektorami $\vec{r}$  i $\vec{F}$ .

Siła ciężkości jest przyłożona w połowie długości deski, wynoszącej $l$. Oś obrotu przechodzi przez punkt styczności deski z podłożem. Zapiszmy wartości momentów sił działających na podnoszoną deskę.

$M_F=l\cdot F\cdot \sin \delta$

$M_c=\frac{1}{2}l\cdot F_c\cdot \sin \gamma$   

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy:

$\sin \delta =\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$    

$\sin \gamma =\sin \left({90}^{\circ }+\alpha \right)=\cos \alpha$    

Zatem:

$M_F=l\cdot F\cdot \cos \alpha$

$M_c=\frac{1}{2}l\cdot F_c\cdot \cos \alpha$   

W celu wyznaczenia wartości siły działającej na linę zapisujemy równość wartości przeciwdziałających sobie momentów sił:

$M_F=M_c$  

$l\cdot F\cdot \cos \alpha =\frac{1}{2}l\cdot F_c\cdot \cos \alpha$  

$l\cdot F=\frac{1}{2}l\cdot F_c$  

$F=\frac{1}{2}{F}_c$  

Wartość siły ciężkości deski wyrazimy jako:

$F_c=mg$

gdzie:

$m$   - masa deski,

$g$   - przyspieszenie ziemskie.

Stąd:

$F=\frac{1}{2}mg$  

Obliczmy szukaną wartość siły:

$F=\frac{1}{2}\cdot 20\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=98,1\text{N}=$

$\approx 100\text{N}$

Odpowiedź: Wartość siły, z jaką pracownik działał na linę, gdy deska tworzyła z poziomym podłożem kąt 25° wynosiła ok 100N.