Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest ocenienie, czy przedstawione wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości końcowej kuli jest poprawne. Rozważając ruch kuli na równi pochyłej, należy uwzględnić również ruch obrotowy kuli. We wzorach podanych w treści zadania nie zrobiono tego, dlatego wzór na szybkość końcową kuli nie jest poprawny. Skorzystajmy z zasady zachowania energii mechanicznej. Na górze równi kulka posiada pewną energię potencjalną, jednak nie poruszała się, zatem jej energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego wynosi zero:

$E_{k0}=0$

gdzie:

$E_{k0}$ - energia kinetyczna ruchu postępowego kulki na górze równi.

$E_{k.obr0}=0$

gdzie:

$E_{k.obr0}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego kulki na górze równi.

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$E_p$  - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

Zgodnie z treścią zadania początkowa wysokość kulki wynosi $h$, wówczas jej początkowa energia potencjalna:

$E_{p0}=mgh$

gdzie:

$E_{p0}$ - energia potencjalna kulki na górze równi,

$m$ - masa kulki,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - początkowa wysokość, na której znajdowała się kulka.

Z początkowej wysokości $h$ kulka zaczyna się toczyć bez poślizgu. Po stoczeniu się kulki z równi energia potencjalna wynosi zero:

$E_{p1}=0$

gdzie:

$E_{p1}$ - energia potencjalna kulki w chwili końcowej.

Kulka toczyła się, zatem posiadała pewną prędkość w ruchu postępowym oraz pewną prędkość kątową w ruchu obrotowym. Wówczas w sytuacji końcowej należy uwzględnić energię kinetyczną ruchu postępowego kulki oraz energię kinetyczną ruchu obrotowego kulki. Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_{k.obr}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$ 

gdzie:

$E_{k.obr}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,  

$I$ - moment bezwładności bryły, 

$\omega$ - szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu. 

Zatem energie kinetyczne kulki w chwili końcowej zapiszemy:

$E_{k1}=\frac{1}{2}m{v}^2$

gdzie:

$E_{k1}$ - energia kinetyczna ruchu postępowego kulki w sytuacji końcowej, 

$m$ - masa kulki, 

$v$ - wartość prędkości kulki. 

$E_{k.obr1}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

gdzie:

$E_{k.obr1}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego kulki w chwili końcowej,  

$I$ - moment bezwładności kulki, 

$\omega$ - wartość prędkości kątowe kulki względem przyjętej osi obrotu. 

Zapiszmy zasadę zachowania energii mechanicznej:

$E_{p0}+E_{k0}+E_{k.obr.0}=E_{p1}+E_{k1}+E_{k.obr1}$

$mgh+0+0=0+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Stąd poprawnie zapisana zasada zachowania energii mechanicznej ma postać:

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$  

Ponieważ zasada zachowania energii mechanicznej wyrażona w treści zadania wzorem $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$ jest niepoprawna, wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości kątowej kulki również będzie niepoprawne.

 Odpowiedź:  

Zasada zachowania energii wyraża się wzorem  $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$, skąd otrzymujemy $v=\sqrt{2gh}$.

Powyższe wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest niepoprawne.