Uczniowie badali zależność... Podkreśl właściwe...- Zadanie 1.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest określenie, jak zmienił się moment bezwładności układu czterech obciążników. Najmniejszy moment bezwładności dla danej bryły sztywnej to moment względem osi przechodzącej przez środek masy tej bryły. Jeśli znany jest moment bezwładności $I_{0}$ względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to korzystając z twierdzenia Steinera, otrzymujemy, że moment bezwładności bryły sztywnej względem innej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy możemy przedstawić wzorem:

$I = I_{0} + m d^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności bryły sztywnej względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy,

$I_{0}$ - znany moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy tej bryły,

$m$ - masa tej bryły,

$d$ - odległość pomiędzy osią przechodzącą przez środek masy a równoległą do niej.

Moment bezwładności każdego obciążnika jest wprost proporcjonalny do jego kwadratu odległości od osi obrotu. Zatem jeżeli obciążniki zostały zamocowane bliżej osi obrotu, to ich moment bezwładności zmalał, stąd zmalał też moment bezwładności układu czterech obciążników.

Naszym drugim zadaniem jest określenie zmiany siły napięcia nitki. Rozważmy wartość momentu siły napięcia nitki. Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Na walec działa tylko jedna siła, siła napięcia nitki. Zatem wypadkowy moment siły działający na walec to moment siły napięcia nitki. Wówczas:

$M = r F_{A}$

gdzie:

$F_{A}$ - wartość siły naciągu nitki działająca na walec,

$M$ - wartość wypadkowego momentu siły,

$r$ - promień walca.

$M = I ε$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu walec-obciążniki,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego układu walec-obciążniki.

Zatem:

$r F_{A} = I ε ∣ : r$

$F_{A} = I \frac{ε}{r}$

Zatem wartość siły napięcia nici $F_{A}$ jest wprost proporcjonalna do momentu bezwładności $I$ wahadła. Moment bezwładności wahadła składa się z momentu bezwładności walca oraz momentu bezwładności układu obciążników. Skoro zmaleje moment bezwładności układu obciążników, zmaleje również moment bezwładności układu walec-obciążniki. Wówczas zmaleje również siła napięcia nici.