Oblicz, ile czasu trwa rozpędzanie...- Zadanie 1: Sposób na fizykę 7

Rozwiązanie

Dane:

▶ szybkość do jakiej rozpędza się metro: $v = 90 \frac{km}{h}$ ,

▶ wartość przyspieszenia wagonu: $a_{r} = 1, 2 \frac{m}{s ^{2}}$ ,

▶ wartość opóźnienia wagonu: $a_{h} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ zależności między jednostkami czasu: $1 h = 3600 s$ ,

▶ zależności między jednostkami odległości: $1 km = 1000 m$ .

Szukane:

▶ czas rozpędzania się wagonu metra: $Δ t_{r} = ?$

▶ czas hamowania wagonu metra: $Δ t_{h} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu rozpędzania się wagonu metra oraz czasu jego hamowania.

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

W przypadku rozpędzania wagonu metra wartość jego przyspieszenia wynosi:

$a_{r} = \frac{Δ v}{Δ t _{r}}$

gdzie:

$a_{r}$ - wartość przyspieszenia przy rozpędzaniu wagonu,

$Δ t_{r}$ - czas, w jakim wagon się rozpędza.

Naszą szukaną jest czas rozpędzania się wagonu metra. Przekształćmy zatem powyższy wzór względem czasu rozpędzania i otrzymujemy:

$a_{r} = \frac{Δ v}{Δ t _{r}} ∣ \cdot Δ t_{r}$

$a_{r} \cdot Δ t_{r} = Δ v ∣: a_{r}$

$Δ t_{r} = \frac{Δ v}{a _{r}}$

Zmianę wartości prędkości wagonu metra osobowego możemy zapisać jako:

$Δ v = v - v_{0}$

gdzie:

$v$ - szybkość, do której rozpędza się wagon metra,

$v_{0}$ - początkowa szybkość wagonu.

Na początku ruchu wagon spoczywał. Dlatego jego początkowa wartość prędkości wynosiła zero. Zapiszmy to jako:

$v_{0} = 0$

Zatem zmiana szybkości wagonu metra wynosi:

$Δ v = v - 0$

$Δ v = v$

Wstawiamy powyższe równanie do wzoru na czas rozpędzania wagonu i otrzymujemy:

$Δ t_{r} = \frac{Δ v}{a _{r}}$

$Δ t_{r} = \frac{v}{a _{r}}$

Wstawiamy teraz wartości liczbowe i otrzymujemy:

$Δ t_{r} = \frac{90 \frac{km}{h}}{1 , 2 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{90 \cdot \frac{10 00 m}{36 00 s}}{1 , 2 \frac{m}{s ^{2}}} =$

$= \frac{90 \cdot \frac{10 m}{36 s}}{1 , 2 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{90 5 \cdot \frac{10}{2 36}}{\frac{6}{5} \frac{1}{s}} =$

$= \frac{90 5 \cdot \frac{10}{2 36}}{\frac{6}{5} \frac{1}{s}} = \frac{50 25}{2} \cdot \frac{5}{3 6} s =$

$= \frac{125}{6} s = 20, 8 (3) s$

Zgodnie z treścią polecenia ostateczny wynik mamy podać z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Otrzymujemy zatem, że czas rozpędzania się wagonu metra wynosi:

$Δ t_{r} \approx 21 s$

W przypadku hamowania wagonu metra wartość jego opóźnienia wynosi:

$a_{h} = \frac{Δ v}{Δ t _{h}}$

gdzie:

$a_{h}$ - wartość opóźnienia przy hamowaniu wagonu,

$Δ t_{h}$ - czas, w jakim wagon się hamuje.

Naszą szukaną jest czas hamowania wagonu metra. Przekształćmy zatem powyższy wzór względem czasu hamowania i otrzymujemy:

$a_{h} = \frac{Δ v}{Δ t _{h}} ∣ \cdot Δ t_{h}$

$a_{h} \cdot Δ t_{h} = Δ v ∣: a_{h}$

$Δ t_{h} = \frac{Δ v}{a _{h}}$

Zmianę wartości prędkości wagonu metra osobowego możemy zapisać jako:

$Δ v = ∣ v_{k} - v ∣$

gdzie:

$v$ - szybkość, do którego rozpędził się wagon metra,

$v_{k}$ - końcowa szybkość wagonu.

Zmianę wartości szybkości zapisujemy w wartości bezwzględnej, ponieważ wartość końcowa szybkości metra jest mniejsza od początkowej. W ten sposób nie otrzymujemy ujemnej zmiany wartości prędkości. Jeżeli chcemy jednak nie stosować wartości bezwzględnej, to wartość opóźnienia wagonu musimy zapisać jako ujemną. Inaczej czas ruchu nam wyjdzie ujemny a jest to fizycznie niemożliwe.

Na końcu ruchu wagon spoczywał. Dlatego jego końcowa wartość prędkości wynosiła zero. Zapiszmy to jako:

$v_{k} = 0$

Zatem zmiana szybkości wagonu metra wynosi:

$Δ v = ∣ 0 - v ∣$

$Δ v = v$

Wstawiamy powyższe równanie do wzoru na czas hamowania wagonu i otrzymujemy:

$Δ t_{h} = \frac{Δ v}{a _{h}}$