Elektrostatyczny silnik jonowy..- Zadanie 19.1: Sposób na fizykę 7

Rozwiązanie

Dane:

▶ wartość siły ciągu: $F_{c} = 92 mN$ ,

▶ wartość prędkości końcowej sondy: $v = 100 \frac{km}{h}$ ,

▶ czas rozpędzania się sondy: $2, 5 s$ .

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ zależności między jednostkami odległości: $1 km = 1000 m$ ,

▶ zależności między jednostkami czasu: $1 h = 3600 s$ ,

▶ zależności między jednostkami masy: $1 kg = 1000 g$ ,

▶ zależności między jednostkami wartości siły: $1 mN = 0, 001 N$ .

Szukane:

▶ masa sondy: $m = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyliczenie masy, jaką posiada obiekt, aby za pomocą silnika jonowego przyspieszał zgodnie z warunkami podanymi w treści zadania.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{wyp.} = m a$

gdzie:

$F_{wyp.}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

W naszym przypadku formę siły wypadkowej pełni siła ciągu sondy. Naszą szukaną jest masa sondy. Przekształćmy zatem powyższy wzór względem masy. Otrzymujemy:

$F_{wyp.} = m a ∣: a$

$m = \frac{F _{wyp.}}{a}$

Zauważmy jednak, że nie znamy wartości przyspieszenia sondy.

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Ponieważ nie mamy podanej wartości szybkości oraz czasu ruchu sondy na początku to zakładamy, że były one zerowe. Możemy to zapisać jako:

$v_{0} = 0$

$t_{0} = 0$

gdzie:

$v_{0}$ - początkowa szybkość sondy,

$t_{0}$ - początkowy czas ruchu sondy.

Zgodnie z treścią zadania końcowa wartość prędkości końcowej obiektu wynosi $v = 100 \frac{km}{h}$ . Zatem zmianę wartości prędkości możemy zapisać jako:

$Δ v = v - v_{0}$

gdzie:

$v$ - maksymalna szybkość sondy.

Natomiast zmianę czasu możemy zapisać za pomocą poniższego wzoru:

$Δ t = t - t_{0}$

gdzie:

$t$ - czas, w jakim piłka osiąga maksymalną wartość prędkości.

Wstawiamy powyższe wzory na zmianę szybkości i czasu obiektu do równania na wartość przyspieszenia i otrzymujemy:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

$a = \frac{v - v _{0}}{t - t _{0}}$

W takim wypadku zmiana szybkości i czas, w jakim występuje ta zmiana odpowiadają maksymalnej szybkości i czasowi, w jakim sonda osiągnęła tą szybkość. Oznacza to, że:

$a = \frac{v}{t}$

Wstawiamy teraz powyższy wzór na wartość przyspieszenia do wzoru na masę sondy i otrzymujemy:

$m = \frac{F _{wyp.}}{a}$

$m = \frac{F _{wyp.}}{\frac{v}{t}}$

$m = \frac{F _{wyp.} \cdot t}{v}$

Wstawiamy teraz wartości liczbowe i otrzymujemy:

$m = \frac{92 mN \cdot 2 , 5 s}{100 \frac{km}{h}} = \frac{92 \cdot 0 , 001 N \cdot 2 , 5 s}{100 \cdot \frac{10 00 m}{36 00 s}} =$

$= \frac{92 23 \cdot 0 , 001 N \cdot 2 , 5 s}{25 100 \cdot \frac{10 m}{36 s}} = \frac{23 \cdot 0 , 001 \frac{kg \cdot m}{s ^{2}} \cdot 2 , 5 s}{25} \cdot \frac{36 s}{10 m} =$