Spójrz na rysunki 8.4 i 8.5 i napisz...- Zadanie 1: Fizyka 3. Zakres rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

$a)$

Drugie prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych i napięć w oczku sieci jest równa zero. Możemy je zapisać wzorem:

$k = 1 \sum n E_{k} - k = 1 \sum m I_{k} \cdot R_{k} = 0$

gdzie:

$E_{k}$ jest siłą elektromotoryczną,

$R_{k}$ jest jest oporem zewnętrznym,

$I_{k}$ jest natężeniem prądu dla opornika,

$R_{k}$ wartość oporu.

Otrzymujemy dla naszego przypadku zależność:

$0 = E_{1} + E_{2} - (I \cdot r_{1} + I \cdot r_{2} + I \cdot R)$

Wyznaczmy natężenie prądu płynącego w obwodzie:

$0 = E_{1} + E_{2} - (I \cdot r_{1} + I \cdot r_{2} + I \cdot R)$

$0 = E_{1} + E_{2} - I \cdot (r_{1} + r_{2} + R) ∣ + I \cdot (r_{1} + r_{2} + R)$

$I \cdot (r_{1} + r_{2} + R) = E_{1} + E_{2} ∣ : (r_{1} + r_{2} + R)$

$I = \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

Napięcie pomiędzy biegunami źródła przedstawiamy zależnością:

$U = E - I \cdot r$

gdzie:

$U$ - jest napięciem prądu pomiędzy biegunami,

$E$ - jest siłą elektromotoryczną,

$r$ - jest oporem wewnętrznym ogniwa,

$I$ - jest natężeniem prądu płynącego w obwodzie.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że napięcie między punktami A i B dla naszego przypadku ma postać:

$U_{A B} = E_{1} - I \cdot r_{1}$

$U_{A B} = E_{1} - \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R} \cdot r_{1}$

$U_{A B} = \frac{E _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} + R )}{r _{1} + r _{2} + R} - \frac{( E _{1} + E _{2} ) \cdot r _{1}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{A B} = \frac{E _{1} \cdot r _{1} + E _{1} \cdot r _{2} + E _{1} \cdot R}{r _{1} + r _{2} + R} - \frac{E _{1} \cdot r _{1} + E _{2} \cdot r _{1}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{A B} = \frac{E _{1} \cdot r _{1} + E _{1} \cdot r _{2} + E _{1} \cdot R - E _{1} \cdot r _{1} - E _{2} \cdot r _{1}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{A B} = \frac{E _{1} \cdot r _{2} + E _{1} \cdot R - E _{2} \cdot r _{1}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{A B} = \frac{E _{1} \cdot ( r _{2} + R ) - E _{2} \cdot r _{1}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$b)$

Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy, zależność:

$0 = E_{1} + E_{2} - (I \cdot r_{1} + I \cdot r_{2} + I \cdot R)$

$I = \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

Napięcie między punktami B i C ma postać:

$U_{B C} = E_{2} - I \cdot r_{2}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$U_{B C} = E_{2} - I \cdot r_{2}$

$U_{B C} = E_{2} - \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R} \cdot r_{2}$

$U_{B C} = \frac{E _{2} \cdot ( r _{1} + r _{2} + R )}{r _{1} + r _{2} + R} - \frac{( E _{1} + E _{2} ) \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{B C} = \frac{E _{2} \cdot r _{1} + E _{2} \cdot r _{2} + E _{2} \cdot R}{r _{1} + r _{2} + R} - \frac{E _{1} \cdot r _{2} + E _{2} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{B C} = \frac{E _{2} \cdot r _{1} + E _{2} \cdot r _{2} + E _{2} \cdot R - E _{1} \cdot r _{2} - E _{2} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{B C} = \frac{E _{2} \cdot r _{1} + E _{2} \cdot R - E _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{B C} = \frac{E _{2} \cdot ( r _{1} + R ) - E _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$c)$

Natężenie prądu w obwodzie ma postać (obliczyliśmy je w podpunkcie a) ):

$I = \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas napięcie na końcach przewodu (lub urządzenia) możemy przedstawić wzorem:

$U = R I$

gdzie:

$U$ - napięcie do jakiego podłączono urządzenie/przewód.

$R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że napięcie pomiędzy punktami A i C będzie miało postać:

$U_{A C} = R \cdot I$

$U_{A C} = R \cdot \frac{E _{1} + E _{2}}{r _{1} + r _{2} + R}$

$U_{A C} = \frac{R \cdot ( E _{1} + E _{2} )}{r _{1} + r _{2} + R}$

$d)$

Tak. Wiedząc, że natężenie prądu w obwodzie jest stałe, możemy zauważyć że na rysunku 8.5 tam, gdzie spadek napięcia jest większy, tam większy jest również opór. Z tego wynika, że najmniejszy jest opór $r_{1}$ , a największy jest opór $R$ .