Skala miliamperomierza o zakresie...- Zadanie 3: Fizyka 3. Zakres rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Dane:

$I_{max} = 50 mA = 0, 05 A$

$k = 100$

$n = 85$

$R_{m A} = 10^{3} Ω$

$a)$

Chcemy przystosować amperomierz do natężenia:

$I = 1 A$

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U = R \cdot I$

gdzie $U$ jest napięciem, $I$ jest natężeniem, $R$ jest oporem. Napięcie prądu nie zmienia się. Oznacza to, że dla obwodu z samym amperomierzem mamy zależność:

$U = R_{m A} \cdot I_{max}$

Jeżeli włączymy do obwodu bocznik to napięcie prądu w obwodzie będzie miało postać:

$U = R_{z} \cdot I$

gdzie $R_{z}$ jest oporem zastępczym całego obwodu. Porównajmy oba wzory na napięcie i wyznaczmy opór zastępczy układu z bocznikiem:

$R_{z} \cdot I = R_{m A} \cdot I_{max} ∣ : I$

$R_{z} = \frac{R _{m A} \cdot I _{max}}{I}$

Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając z wzoru:

$\frac{1}{R _{z}} = i = 1 \sum n \frac{1}{R _{i}}$

gdzie $R_{z}$ jest oporem zastępczym, $R_{i}$ jest oporem poszczególnych oporników, $n$ jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że opór zastępczy miliamperomierza i bocznika będzie wynosił:

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{1}{R _{m A}} + \frac{1}{R _{b}}$

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{R _{b}}{R _{m A} \cdot R _{b}} + \frac{R _{m A}}{R _{m A} \cdot R _{b}}$

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{R _{b} + R _{m A}}{R _{m A} \cdot R _{b}}$

Z tego wynika, że:

$R_{z} = \frac{R _{m A} \cdot R _{b}}{R _{b} + R _{m A}}$

Porównajmy oba wzory na opór zastępczy układu i wyznaczmy opór bocznika:

$R_{z} = \frac{R _{m A} \cdot I _{max}}{I}$

$\frac{R _{m A} \cdot R _{b}}{R _{b} + R _{m A}} = \frac{R _{m A} \cdot I _{max}}{I}$

Wymnażamy na krzyż:

$R_{m A} \cdot R_{b} \cdot I = (R_{b} + R_{m A}) \cdot R_{m A} \cdot I_{max}$

$R_{m A} \cdot R_{b} \cdot I = R_{b} \cdot R_{m A} \cdot I_{max} + R_{m A}^{2} \cdot I_{max} ∣ - R_{b} \cdot R_{m A} \cdot I_{max}$

$R_{m A} \cdot R_{b} \cdot I - R_{b} \cdot R_{m A} \cdot I_{max} = R_{m A}^{2} \cdot I_{max}$

$R_{m A} \cdot R_{b} \cdot (I - I_{max}) = R_{m A}^{2} \cdot I_{max} ∣ : (R_{m A} \cdot (I - I_{max}))$

$R_{b} = R_{m A} \cdot \frac{I _{max}}{I - I _{max}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{b} = 10^{3} Ω \cdot \frac{0 , 05 A}{1 A - 0 , 05 A} = 1000 Ω \cdot \frac{0 , 05 A}{0 , 95 A} \approx 1000 Ω \cdot 0, 05263 = 52, 6 Ω$

Odpowiedź: Opór bocznika wynosi 52,6 Ω.

$b)$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$R_{z} = \frac{R _{m A} \cdot I _{max}}{I}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{z} = \frac{10 ^{3} Ω \cdot 0 , 05 A}{1 A} = \frac{1 000 Ω \cdot 0 , 05 A}{1 A} = \frac{50 Ω \cdot A}{1 A} = 50 Ω$

Odpowiedź: Opór amperomierza wynosi 50 Ω.

$c)$

Wiemy, że tak powstały amperomierz może mierzyć prąd o natężeniu $I$ i ma $k$ działek. Z tego wynika, że wzrost natężenia prądu o jedną działkę możemy przedstawić wzorem:

$Δ I = \frac{I}{k}$