Prąd z elektrowni jest przesyłany...- Zadanie 2: Fizyka 3. Zakres rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Dane:

$U_{wys ł ane} = 23 kV = 23 \cdot 10^{3} V$

$\frac{R}{Δ l} = 0, 22 \frac{Ω}{km} = 0, 22 \frac{Ω}{1000 m} = 0, 00022 \frac{Ω}{m} = 2, 2 \cdot 10^{- 4} \frac{Ω}{m}$

$I_{s} = 100 A$

$a)$

Dane w tym podpunkcie:

$t = 1 h = 3600 s$

$l = 1 km = 1000 m$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

W zadaniu podany mamy opór przewodnika przypadający na jednostkę długości $\frac{R}{Δ l}$ . Z tego wynika, że opór przewodnika przypadający na podaną długość możemy wyznaczyć korzystając z proporcji:

$R Δ l$

$R_{przewodnika} l$

Wówczas:

$R_{przewodnika} = \frac{R}{Δ l} \cdot l$

Prawo Joule'a wyraża ilość ciepła jakie jest wyzwalane przy przepływnie prądu elektrycznego przez przewodnik.

$Q = R I^{2} t$

gdzie:

$Q$ - ciepło wydzielane w przewodzie,

$R$ - opór elektryczny przewodnika,

$I$ - natężenie prądu płynącego w przewodniku,

$t$ - czas przepływu prądu.

Dla naszego przypadku otrzymujemy, że ciepło wydzielone na przewodniku wynosi:

$Q = R_{przewodnika} I_{s}^{2} t$

Podstawiamy za $R_{p rze w o d nika}$ :

$Q = \frac{R}{Δ l} l I_{s}^{2} t$

Podstawiamy i obliczamy:

$Q = 2, 2 \cdot 10^{- 4} \frac{Ω}{m} \cdot 1000 m \cdot (100 A)^{2} \cdot 3600 s =$

$= 2200 \cdot 10^{- 4} Ω \cdot 10000 A^{2} \cdot 3600 s =$

$= 0, 22 Ω \cdot 10000 A^{2} \cdot 3600 s = 7920000 Ω A^{2} \cdot s =$

$= 7, 92 \cdot 10^{6} J = 7, 92 MJ$

Odpowiedź: Ciepło Joule'a wynosi $7, 92 MJ$ .

$b)$

Dane w tym podpunkcie:

$d = 50 m$

Szukane:

$U_{s} = ?$

Rozwiązanie:

Na podstawie zależności pokazanej w poprzednim podpunkcie opór przewodnika będzie wynosił:

$R_{przewodnika} = \frac{R}{Δ l} \cdot d$

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas napięcie na końcach przewodu (lub urządzenia) możemy przedstawić wzorem:

$U = R I$

gdzie:

$U$ - napięcie do jakiego podłączono urządzenie/przewód.

$R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Zatem napięcie skuteczne będzie miało postać:

$U_{s} = R_{przewodnika} I_{s}$

Po podstawieniu za $R_{p rze w o d nika}$ :

$U_{s} = \frac{R}{Δ l} d I_{s}$

Podstawiamy i obliczamy:

$U_{s} = 2, 2 \cdot 10^{- 4} \frac{Ω}{m} \cdot 50 m \cdot 100 A = 11000 \cdot 10^{- 4} \frac{V}{A} \cdot A = 1, 1 V$

Odpowiedź: Napięcie skuteczne wynosi 1,1 V.

$c)$

Dane w tym podpunkcie:

$d_{1} = 100 km = 100000 m = 10^{5} m$

Szukane:

$\frac{P _{tracone}}{P _{wys ł ane}} = ?$

Rozwiązanie:

Na podstawie poprzednich podpunktów możemy zapisać wzór na opór przewodnika:

$R_{przewodnika} = \frac{R}{Δ l} \cdot d_{1}$

Napięcie skuteczne pomiędzy końcami tego przewodnika będzie wynosiło:

$U_{s} = R_{przewodnika} I_{s}$

Po podstawieniu za $R_{p rze w o d nika}$ :

$U_{s} = \frac{R}{Δ l} d_{1} I_{s}$

Moc prądu elektrycznego (urządzenia elektrycznego) obliczamy korzystając ze wzoru:

$P = U I$

gdzie:

$P$ - moc prądu elektrycznego,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu elektrycznego.

Moc wysłaną z elektrowni możemy zatem przedstawić wzorem:

$P_{wys ł ane} = I_{s} U_{wys ł ane}$

Moc tracona przy wysyłaniu prądu będzie mocą jaka wydzieli się na dwóch przewodnikach, które wychodzą z elektrowni.

Możemy zatem zapisać, że:

$P_{tracone} = 2 \cdot P_{przewodnika}$

$P_{tracone} = 2 \cdot I_{s} U_{s}$

Po podstawieniu za $U_{s}$ :

$P_{tracone} = 2 I_{s} \frac{R}{Δ l} d_{1} I_{s}$

$P_{tracone} = 2 \frac{R}{Δ l} d_{1} I_{s}^{2}$

Wówczas procent mocy utraconej przy wysyłaniu prądu wynosi:

$\frac{P _{tracone}}{P _{wys ł ane}} = \frac{2 \frac{R}{Δ l} d _{1} I _{s}^{2}}{I _{s} U _{wys ł ane}}$

$\frac{P _{tracone}}{P _{wys ł ane}} = \frac{2 \frac{R}{Δ l} d _{1} I _{s}}{U _{wys ł ane}}$

Podstawiamy i obliczamy:

$\frac{P _{tracone}}{P _{wys ł ane}} = \frac{2 \cdot 2 , 2 \cdot 10 ^{- 4} \frac{Ω}{m} \cdot 10 ^{5} m \cdot 100 A}{23 \cdot 10 ^{3} V} = \frac{440 \cdot 10 A \cdot Ω}{2 3 000 V} =$