Do duantów cyklotronu doprowadzone jest napięcie zmieniające się z...- Zadanie 6: Fizyka 3. Zakres rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Dane:

$ν = 12 MHz = 12 \cdot 10^{6} Hz$

$R = 0, 5 m$

$m_{p} = m_{n} = 1, 67 \cdot 10^{- 27} kg$

$e = 1, 60 \cdot 10^{- 19} C$

$6.1.$

$a)$

Ładunek protonu odpowiada ładunkowi elementarnemu:

$q_{p} = e$

Proton w cyklotronie porusza się z podaną częstotliwością po okręgu o promieniu odpowiadającej obwodowi duanta, czyli szybkość liniową protonu przedstawimy wzorem:

$v_{p} = 2 π R ν$

gdzie:

$R$ jest promieniem duanta,

$ν$ jest jego częstotliwością.

Na proton działa siła Lorentza. Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę znajdująca się w jednorodnym polu magnetycznym:

$F_{L} = q v \times B$

gdzie:

$F_{L}$ - siła Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym,

$v$ - prędkość cząstki,

$B$ - indukcja pola magnetycznego.

Ponieważ mamy tutaj do czynienia z iloczynem wektorowym to wartość siły Lorentza możemy przedstawić wzorem:

$F_{L} = q v B sin α$

gdzie:

$F_{L}$ - wartość siły Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym,

$v$ - wartość prędkości cząstki,

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego,

$α$ - kąt pomiędzy wektorem prędkości, a wektorem indukcji pola.

Siła ta pełni rolę siły dośrodkowej, której wartość w ogólnym przypadku wyrażamy wzorem:

$F_{d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$v$ - szybkość ciała,

$r$ - promień okręgu.

Wartość siły Lorentza dla protonu poruszającego się prostopadle do linii pola magnetycznego ( $sin 90° = 1$ ) przedstawimy wzorem:

$F_{L} = q_{p} v_{p} B$

Rozpisujemy ładunek oraz szybkość:

$F_{L} = e \cdot 2 π R ν B$

$F_{L} = 2 π e R ν B$

Wartość siły dośrodkowej dla protonu będzie miała postać:

$F_{d} = \frac{m _{p} v _{p}^{2}}{R}$

$F_{d} = \frac{m _{p} ( 2 π R ν ) ^{2}}{R}$

$F_{d} = \frac{m _{p} \cdot 4 π ^{2} R ^{2} ν ^{2}}{R}$

$F_{d} = 4 π^{2} m_{p} R ν^{2}$

Skoro siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej to możemy porównać wzory opisujące te siły i wyznaczyć wartość indukcji magnetycznej pola, w jakim porusza się proton:

$F_{L} = F_{d}$

$2 π e R ν B = 4 π^{2} m_{p} R ν^{2}$

$2 e B = 4 π m_{p} ν ∣ : 2 e$

$B = \frac{2 π m _{p} ν}{e}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B = \frac{2 \cdot 3 , 14 \cdot 1 , 67 \cdot 10 ^{- 27} kg \cdot 12 \cdot 10 ^{6} Hz}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} C} = \frac{125 , 8512 \cdot 10 ^{- 21} kg \cdot Hz}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} C} =$

$= \frac{1 , 258512 \cdot 10 ^{- 19} kg \cdot \frac{1}{s}}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} A \cdot s} = 0, 78657 \frac{kg}{A \cdot s ^{2}} =$

$= 0, 78657 T \approx 0, 8 T$

$b)$

Deuteron złożony jest z jednego protonu i jednego neutronu, czyli jego ładunek i masa wynoszą:

$q_{d} = e$

$m_{d} = m_{p} + m_{n} = m_{p} + m_{p} = 2 m_{p}$

Jego szybkość w cyklotronie również możemy przedstawić zależnością:

$v_{d} = 2 π R ν$

Wówczas wartość siły Lorentza działającej na deuteron będzie miała postać:

$F_{L} = q_{d} v_{d} B$

$F_{L} = e \cdot 2 π R ν B$

$F_{L} = 2 π e R ν B$

Wartość siły dośrodkowej możemy wyrazić za pomocą wzoru:

$F_{d} = \frac{m _{d} v _{p}^{2}}{R}$

$F_{d} = \frac{2 m _{p} ( 2 π R ν ) ^{2}}{R}$

$F_{d} = \frac{2 m _{p} \cdot 4 π ^{2} R ^{2} ν ^{2}}{R}$

$F_{d} = 8 π^{2} m_{p} R ν^{2}$

Skoro siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej to możemy porównać wzory opisujące te siły i wyznaczyć wartość indukcji magnetycznej pola, w jakim porusza się deuteron:

$F_{L} = F_{d}$

$2 π e R ν B = 8 π^{2} m_{p} R ν^{2}$

$2 e B = 8 π m_{p} ν ∣ : 2 e$

$B = \frac{4 π m _{p} ν}{e}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B = \frac{4 \cdot 3 , 14 \cdot 1 , 67 \cdot 10 ^{- 27} kg \cdot 12 \cdot 10 ^{6} Hz}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} C} = \frac{251 , 7024 \cdot 10 ^{- 21} kg \cdot Hz}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} C} =$

$= \frac{2 , 517024 \cdot 10 ^{- 19} kg \cdot \frac{1}{s}}{1 , 60 \cdot 10 ^{- 19} A \cdot s} = 1, 57314 \frac{kg}{A \cdot s ^{2}} =$

$= 1, 57314 T \approx 1, 6 T$

$6.2.$

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza.

Oznacza to, że energię kinetyczną po wprowadzeniu odpowiednich indeksów dla protonu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{1}{2} m_{p} v_{p}^{2}$

$E_{k} = \frac{1}{2} m_{p} \cdot (2 π R ν)^{2}$

$E_{k} = \frac{1}{2} m_{p} \cdot 4 π^{2} R^{2} ν^{2}$

$E_{k} = 2 π^{2} m_{p} R^{2} ν^{2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k} = 2 \cdot 3, 14^{2} \cdot 1, 67 \cdot 10^{- 27} kg \cdot (0, 5 m)^{2} \cdot (12 \cdot 10^{6} Hz)^{2} =$

$= 2 \cdot 9, 8596 \cdot 1, 67 \cdot 10^{- 27} kg \cdot 0, 25 m^{2} \cdot 144 \cdot 10^{12} \frac{1}{s ^{2}} =$

$= 1185, 518304 \cdot 10^{- 15} kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} = 11, 85518304 \cdot 10^{- 13} J$

Wiemy, że:

$1 eV = 1, 602 \cdot 10^{- 19} J$

Wówczas energia kinetyczna wyrażona w elektronowoltach ma postać:

$E_{k} = 11, 85518304 \cdot 10^{- 13} J \cdot \frac{1 , 602 \cdot 10 ^{- 19} J}{1 , 602 \cdot 10 ^{- 19} J} = \frac{11 , 85518304 \cdot 10 ^{- 13} J}{1 , 602 \cdot 10 ^{- 19} J} \cdot 1 ev \approx$