$\mathbf{a})$

Dane:

▶ długość wahadła: $l=28\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$T=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wyznaczamy okres drgań wahadła o zadanej długości. Korzystamy ze wzoru dla wahadła matematycznego.

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ gdzie: $T$ - okres drgań wahadła, $\pi$ - liczba π (pi), $l$ - długość wahadła, $g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego na wahadło.

Podstawiamy dane liczbowe:

$T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{28\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}\approx 6,28\cdot \sqrt{2,85{\text{s}}^2}\approx 6,28\cdot 1,69\text{s}\approx 10,6\text{s}$  

Odpowiedź: Okres wahadła znajdującego się w muzeum Kopernika wynosi około $10,6$ sekund.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

▶ podany okres drgań wahadła: $T=3\text{s}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ .

Szukane:

$l=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Wyznaczamy długość wahadła o zadanym okresie drgań. Korzystamy ze wzoru dla wahadła matematycznego.

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ gdzie: $T$ - okres drgań wahadła, $\pi$ - liczba π (pi), $l$ - długość wahadła, $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Przekształcamy wzór tak, by wyznaczyć długość wahadła.

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}{|}^2$

$T^2=4{\pi }^2\frac{l}{g}|\cdot g$

$g{T}^2=4{\pi }^{2}l|:4{\pi }^2$

$\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}=l$

$l=\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$l=\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(3\mathrm{s}\right)}^2}{4\cdot 3,14^2}=\frac{9,81\frac{\mathrm{m}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}\cdot 9\cancel{{\mathrm{s}}^2}}{4\cdot 9,8596}=\frac{88,29\mathrm{m}}{39,4384}\approx 2,24\mathrm{m}$

Odpowiedź: Długość wahadła wynosi około $2,24$ metra.

 

$\mathbf{c})$

 Uzasadnienie:

Porównujemy okresy drgań wahadła na Ziemi i Księżycu. Ze względu na inne przyspieszenie grawitacyjne na tych ciałach niebieskich wahadła muszą mieć równe długości.

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_g}}$ gdzie: $T$ - okres drgań wahadła, $\pi$ - liczba π (pi), $l$ - długość wahadła, $a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego na wahadło.

▶ Okres drgań wahadła na Ziemi wyrazimy jako:

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$  

gdzie:

$T_1$ - okres drgań wahadła na Ziemi,

$l_1$  - długość wahadła na Ziemi,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,

▶ Okres drgań wahadła na Księżycu wyrazimy jako:

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g_k}}$   

gdzie:

$T_2$ - okres drgań wahadła na Księżycu,

$l_2$  - długość wahadła na Księżycu,

$g_k$  - wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu,

Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest 6 razy mniejsze od ziemskiego. Zapisujemy to w postaci:

$g_k=\frac{g}{6}$  

Stąd wzór na okres drgań dla wahadła na Księżycu przyjmuję postać:

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{l_2}{\frac{g}{6}}}$   

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{6l_2}{g}}$   

Chcemy, aby okresy drgań wahadeł były takie same:

$T_1=T_2$

Otrzymujemy:

$2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g_k}}=2\pi \sqrt{\frac{6l_2}{g}}|:2\pi$  

$\sqrt{\frac{l_1}{g}}=\sqrt{\frac{6l_2}{g}}\text{| }{}^2$  

$\frac{l_1}{g}=\frac{6l_2}{g}\text{|}\cdot g$  

$l_1=6l_2\text{| : }6$

$l_2=\frac{l_1}{6}$

Wahadło na Ziemi ma długość:

▶ $l_1=2\text{m}$

Zatem wahadło na Księżycu musi mieć długość:

▶ $l_2=\frac{2\text{m}}{6}=0,33\text{m}$     

 Odpowiedź: 

Wahadło na Księżycu powinno mieć długość $0,33$ metrów, aby mieć taki sam okres jak dwumetrowe wahadło na Ziemi.

 

$\mathbf{d})$

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest wyznaczenie przy pomocy wahadła matematycznego przyspieszenia grawitacyjnego ziemi. Korzystamy ze wzoru na okres drgań wahadła:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła,

$\pi$ - liczba π (pi),

$l$ - długość wahadła,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wyznaczona zależność na przyspieszenie ziemskie $g$  będzie miała postać:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}{\mid }^2$

$T^2=4{\pi }^2\cdot \frac{l}{g}\mid \cdot g$

$T^2\cdot g=4{\pi }^{2}l\mid :T^2$  

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$  

 Odpowiedź: 

Zatem w celu obliczenia przyspieszenia ziemskiego $g$  należy zmierzyć długość wahadła $l$  i zbadać jego okres drgań  $T$ .