W czasie zawodów sportowych sędzie rzucił monetą...- Zadanie 3: NOWE Odkryć fizykę 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy

Rozwiązanie

Dane:

$m = 5 g = 0, 005 kg$

$h = 45 cm = 0, 45 m$

$a)$

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości początkowej monety, przy zastosowaniu zasady zachowania energii mechanicznej. Wiemy, że początkowo moneta znajdowała się na zerowym poziomie (ręki sędziego), czyli posiadała zerową energię potencjalną. Oznacza to, że w chwili, w której moneta jest wyrzucana posiada jedynie energię kinetyczną, którą możemy obliczyć ze wzoru:

ENERGIA KINETYCZNA

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Jak mówiliśmy, na początku moneta posiada jedynie energię kinetyczną, więc możemy zapisać jej wartość w postaci:

$E_{c .0} = E_{k}$

gdzie:

$E_{c .0}$ - początkowa energia całkowita monety,

Podstawiając wzór na energię kinetyczną, otrzymujemy:

$E_{c .0} = \frac{m v _{2}}{2}$

Monetę podrzucono i wzniosła się ona na wysokość 45 cm. Energię potencjalną możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{p} = m g h$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Moneta na maksymalnej wysokości zatrzymuje się, czyli wówczas jej energia kinetyczna ma zerową wartość. Z tego wynika, że całkowita energia mechaniczna monety na wysokości, którą osiągnęła po wyrzuceniu ma postać:

$E_{c .1} = E_{p}$

gdzie:

$E_{c .1}$ - energia kinetyczna po wzniesieniu monety na maksymalną wysokość.

Podstawiając wzór na energię potencjalną:

$E_{c .1} = m g h$

Korzystając z zasady zachowania energii, możemy zapisać równanie, w którym energia kinetyczna monety w chwili wyrzutu równa się zmianie energii potencjalnej. Z tego równania wyznaczamy wartość prędkości początkowej monety:

$E_{c .0} = E_{c .1}$

$\frac{m v ^{2}}{2} = m g h ∣ \cdot 2$

$v^{2} = 2 g h ∣$

$v = 2 g h$

$b)$

Uzasadnienie:

Naszym celem jest poprawne uzupełnienie zdania. Z podpunktu a) wynika, że energia potencjalna w najwyższym położeniu równa jest energii kinetycznej w najniższym położeniu. Jeżeli moneta początkowo miałaby dwukrotnie większą energię kinetyczną, to zgodnie z zasadą zachowania energii jej energia potencjalna w najwyższym punkcie również wzrosłaby dwukrotnie. Wysokość, na jaką wzniosłaby się moneta, byłaby zatem równa dwukrotności pierwotnej wysokości:

$h_{2} = 2 \cdot 45 cm = 90 cm$

Wiemy, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Jeśli moneta zostałaby wyrzucona z dwukrotnie większą prędkością, jej energia kinetyczna wzrosłaby czterokrotnie. W konsekwencji energia potencjalna również wzrosłaby czterokrotnie, a moneta osiągnęłaby czterokrotnie większą wysokość, więc możemy obliczyć:

$h_{3} = 4 \cdot 45 cm = 180 cm$

Tym razem wyrzucamy monetę o masie 10 g, czyli dwukrotnie większej niż początkowo, ale nadajemy jej taką samą prędkość:

$m^{'} = 2 m$

$v^{'} = v$

Oznacza to, że energia kinetyczna cięższej monety jest dwukrotnie większa:

$E_{k}^{'} = 2 E_{k}$

To z kolei oznacza, że energia potencjalna cięższej monety w najwyższym punkcie jest dwukrotnie większa niż lżejszej monety:

$E_{p}^{'} = 2 E_{p}$

Możemy przy tym zapisać wyrażenie na energię potencjalną każdej z tych monet:

$E_{p} = m g h$

$E_{p}^{'} = m^{'} g h^{'}$

Wyznaczamy wzór na wysokość cięższej monety:

$E_{p}^{'} = 2 E_{p}$

$m^{'} g h^{'} = 2 m g h$

$2 m g h^{'} = 2 m g h ∣ : 2 m g$

$h^{'} = h$

Moneta o dwa razy większej masie wzniesie się więc na taką samą wysokość.

Tym razem wyrzucamy monetę o masie 2,5 g (dwa razy mniejszej) tak, że uzyskuje ona taką samą energię kinetyczną, jak moneta o masie 5 g:

$m^{''} = \frac{1}{2} m$

$E_{k}^{''} = E_{k}$

Skoro energia kinetyczna jest równa energii potencjalnej to energia potencjalna monety o masie 2,5 g równa jest energii potencjalnej monety o masie 5 g:

$E_{p}^{''} = E_{p}$

Zatem:

$m^{''} g h^{''} = m g h$

$\frac{1}{2} m g h^{''} = m g h ∣ : m g$

$\frac{1}{2} h^{''} = h ∣ \cdot 2$

$h^{''} = 2 h$

Zatem moneta ta wzniesie się na wysokość 90 cm.

Odpowiedź:

Jeżeli moneta 1 zł uzyskałaby podczas wyrzucenia dwukrotnie większą energię kinetyczną, to wzniosłaby się na wysokość C. 90 cm. Jeżeli monetę 1 zł wyrzucilibyśmy z dwukrotnie większą prędkością, to wzniosłaby się na wysokość A. 180 cm.

Jeżeli z taką samą prędkością początkową jak monetę 1 zł wyrzucilibyśmy monetę o masie 10 g, to wzniosłaby się ona na wysokość E. 45 cm. Jeżeli taką samą energię kinetyczną jak moneta 1 zł uzyskałaby po wyrzuceniu moneta o masie 2,5 g, to wzniosłaby się ona na wysokość F. 90 cm.