Dane:

$x=40t$

$y=5t^2$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie czasu $t$ po jakim prędkość pozioma $v_{0x}$ pocisku wystrzelonego poziomo będzie równa prędkości w kierunku pionowym $v_y$:

$v_{0x}=v_y$

W treści zadania mamy podane równania opisujące współrzędne położenia pocisku. W podanych równaniach w domyśle wartości powinny być wyrażone za pomocą podstawowych jednostek SI.

Tor ruchu w kierunku poziomym, ciała w rzucie poziomym, przedstawiamy wzorem:

$x=x_0+v_{0}t$

gdzie:

$x$ - położenie w poziomie ciała względem początku obranego układu odniesienia, 

$x_0$ - pozioma współrzędna początkowego położenia ciała, 

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$t$ - czas ruchu ciała. 

Skoro jest to rzut poziomy to pozioma wartość prędkości $v_{0x}$ jest równa wartości prędkości początkowej:

$v_{0x}=v_0$

Zatem:

$x=x_0+v_{0x}t$

W treści zadania mamy podane:

$x=40t$

Porównując te dwa równania odczytujemy, ze:

$x_0=0\text{m}$

$v_{0x}=40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

W kierunku pionowym pocisk porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem zwróconym zgodnie z przyspieszeniem ziemskim. Wówczas tor ruchu w kierunku pionowym przedstawiamy wzorem:

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$y_0$ - pionowa współrzędna początkowa położenia ciała, 

$v_{0y}$ - wartość prędkości początkowej skierowanej pionowo, 

$a$ - wartość przyspieszenia pionowego ciała, 

$t$ - czas ruchu. 

W treści zadania mamy podane:

$y=5t^2$

Porównujemy dwa powyższe równania i otrzymujemy:

$y_0=0\mathrm{m}$

$v_{0y}=0\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$\frac{1}{2}a=5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}|\cdot 2$

$a=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Nas interesuje czas, po jakim wartość prędkości poziomej będzie równa wartości prędkości w kierunku pionowym:

$v_{0x}=v_y$

Skoro początkowa szybkość pionowa ciała była zerowa to zgodnie z definicją przyspieszenia otrzymamy, że:

$a=\frac{v_y}{t}|\cdot t$

$at=v_y$

$v_y=at$

Wracamy do porównywania wartości prędkości:

$v_{0x}=v_y$

$v_{0x}=at|:a$

$\frac{v_{0x}}{a}=t$

$t=\frac{v_{0x}}{a}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t=\frac{40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=\frac{40}{10}\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\xcancel{\mathrm{s}}}\cdot \frac{{\mathrm{s}}^{{\xcancel{2}}^1}}{\cancel{\mathrm{m}}}=4\mathrm{s}$ 

Odpowiedź: Po czasie równym 4 sekundy prędkość pionowa pocisku będzie równa prędkości poziomej.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$t_x=4\text{s}$

Szukane:

$x\left(t_x\right)=\text{?}$

$y\left(t_x\right)=\text{?}$

Rozwiązanie:

W treści zadania mamy podane równania na współrzędne położenia pocisku. Wprowadzamy więc dane do równań (pamiętając o jednostkach):

▶ współrzędna pozioma:

$x\left(4\text{s}\right)=40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 4\mathrm{s}=40\cdot 4\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}\cdot \cancel{\mathrm{s}}=160\text{m}$

▶ współrzędna pionowa:

$y\left(4\text{s}\right)=5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {\left(4\mathrm{s}\right)}^2=5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 16{\mathrm{s}}^2=$

$=5\cdot 16\frac{\mathrm{m}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}\cdot \cancel{{\mathrm{s}}^2}=80\text{m}$

Odpowiedź: Współrzędna pozioma pocisku po czasie 4 s wynosi 160 m, a współrzędna pionowa 80 m.