Dane:

$x_{\text{0M}}=5\mathrm{km}$

$x_{0\text{J}}=3\mathrm{km}$

$v_1=8\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

$v_2=16\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$x_{\text{M}}\left(t\right)=\text{?}$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=\text{?}$

Rozwiązanie:

Ogólne równanie położenia od czasu ma postać:

$x\left(t\right)=x_0+vt$  

gdzie:

$x$ - współrzędna położenia,

$x_{\text{0}}$ - współrzędna położenia początkowego,

$v$ - wartość prędkości,

$t$ - czas ruchu.

Wyznaczmy różnicę w położeniach początkowych obu rowerzystów:

$\Delta x=x_{\text{0M}}-x_{0\text{J}}=5\mathrm{km}-3\mathrm{km}=2\mathrm{km}$

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Jacka.

Jacek znajduje się w położeniu początkowym, a Maciek w położeniu:

$x_{\text{M}}=\Delta x$

Wyrażamy równania ruchu:

$x_{\text{M}}\left(t\right)=x_{\text{M}}+v_{1}t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=0+v_{2}t$

Podstawiamy dane liczbowe z pominięciem jednostek:

$x_{\text{M}}\left(t\right)=2+8t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=16t$

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Maćka.

Maciek znajduje się w położeniu początkowym, a Jacek w położeniu:

$x_{\text{J}}=-\Delta x$

Wyrażamy równania ruchu:

$x_{\text{M}}\left(t\right)=v_{1}t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=x_{\text{J}}+v_{2}t$

Podstawiamy dane liczbowe z pominięciem jednostek:

$x_{\text{M}}\left(t\right)=8t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=-2+16t$

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$t=?$

$x=?$

Rozwiązanie:

Korzystamy z wyznaczonych równań ruchu dla dowolnego układu odniesienia.

$x_{\text{M}}\left(t\right)=2+8t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=16t$

W momencie spotkania obu rowerzystów ich położenia będą takie same.

$x_{\text{M}}\left(t\right)=x_{\text{J}}\left(t\right)$

$2+8t=16t$

Wyznaczmy czas spotkania.

$2=8t$

$t=\frac{2}{8}\mathrm{h}=\frac{1}{4}\mathrm{h}=15\min$

Wyznaczmy położenie, w którym nastąpiło spotkanie.

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Jacka (wybieramy dowolne z równań ruchu):

$x_{\text{J}}\left(t=\frac{1}{4}\mathrm{h}\right)=16t$ 

$x_{\text{J}}=16\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \frac{1}{4}\mathrm{h}=4\mathrm{km}$

Jacek dogoni Maćka w punkcie o współrzędnej 4 km, po 15 minutach ruchu.

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Maćka (wybieramy dowolne z równań ruchu):

$x_{\text{M}}\left(t=\frac{1}{4}\mathrm{h}\right)=8t$ 

$x_{\text{M}}=8\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \frac{1}{4}\mathrm{h}=2\mathrm{km}$

Jacek dogoni Maćka w punkcie o współrzędnej 2 km, po 15 minutach ruchu.

 

$\mathbf{c})$

Korzystamy z wyznaczonych równań ruchu i tworzymy wykresy.

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Jacka

$x_{\text{M}}\left(t\right)=2+8t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=16t$

▶ Dla układu odniesienia związanego z początkowym położeniem Maćka

 $x_{\text{M}}\left(t\right)=8t$

$x_{\text{J}}\left(t\right)=-2+16t$

 

$\mathbf{d})$

W różnych układach odniesienia otrzymaliśmy inne równania ruchu, różne wykresy i współrzędna spotkania się chłopców. Czas, po którym Jacek dogoni Maćka jest taki sam, ponieważ nie zależy on od układów odniesienia, w których zobrazowaliśmy ruch chłopców.