Dane:

$x=34\text{cm}$  

$\Delta x=1\text{cm}$  

$y=91\text{cm}$  

$\Delta y=1\text{cm}$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$f=\text{?}$

Rozwiązanie:

Korzystamy z wzoru podanego w zadaniu:

$f=\frac{x\cdot y}{x+y}$  

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{34\text{cm}\cdot 91\text{cm}}{34\text{cm}+91\text{cm}}=\frac{3094{\text{cm}}^2}{125\text{cm}}=$  

$=24,752\text{cm}\approx 24,8\text{cm}$  

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$\Delta f=?$

$\frac{\Delta f}{f}=?$

Rozwiązanie:

Bezwzględną niepewność pomiaru wyznaczymy z zależności:

$\Delta f=\frac{f_{\text{max}}-f_{\text{min}}}{2}$  

gdzie:

$\Delta f$ - bezwzględna niepewność pomiaru ogniskowej,

$f_{\text{max}}$ - maksymalna wartość ogniskowej,

$f_{\text{min}}$ - minimalna wartość ogniskowej.  

 

Najmniejszą wartość ogniskowej otrzymujemy, gdy mamy najmniejszy możliwy licznik i największy mianownik, czyli:

$f_{\text{min}}=\frac{\left(x-\Delta x\right)\cdot \left(y-\Delta y\right)}{\left(x+\Delta x\right)+\left(y+\Delta y\right)}$  

Natomiast największą wartość ogniskowej otrzymujemy, gdy mamy największy możliwy licznik i najmniejszy mianownik, czyli:

$f_{\text{max}}=\frac{\left(x+\Delta x\right)\cdot \left(y+\Delta y\right)}{\left(x-\Delta x\right)+\left(y-\Delta y\right)}$  

Z tego wynika, że:

$\Delta f=\frac{1}{2}\left(f_{\text{max}}-f_{\text{min}}\right)$  

$\Delta f=\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+\Delta x\right)\cdot \left(y+\Delta y\right)}{\left(x-\Delta x\right)+\left(y-\Delta y\right)}-\frac{\left(x-\Delta x\right)\cdot \left(y-\Delta y\right)}{\left(x+\Delta x\right)+\left(y+\Delta y\right)}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta f=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{\left(34\text{cm}+1\text{cm}\right)\cdot \left(91\text{cm}+1\text{cm}\right)}{\left(34\text{cm}-1\text{cm}\right)+\left(91\text{cm}-1\text{cm}\right)}-\frac{\left(34\text{cm}-1\text{cm}\right)\cdot \left(91\text{cm}-1\text{cm}\right)}{\left(34\text{cm}+1\text{cm}\right)+\left(91\text{cm}+1\text{cm}\right)}\right)=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(35\text{cm}\cdot 92\text{cm}\right)}{33\text{cm}+90\text{cm}}-\frac{33\text{cm}\cdot 90\text{cm}}{35\text{cm}+92\text{cm}})=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(3220{\text{cm}}^2\right)}{123\text{cm}}-\frac{2970{\text{cm}}^2}{127\text{cm}})\approx \frac{1}{2}\cdot \left(26,17886\text{cm}-23,38583\text{cm}\right)=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 2,79303\text{cm}=1,396515\text{cm}\approx 1,4\text{cm}$  

Zatem niepewność względna wynosi:

$\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{1,4\text{cm}}{24,8\text{cm}}\approx 0,05645\approx 6\%$  

 

$\mathbf{c})$  

Wynik doświadczenia:

$f=\left(24,8\pm 1,4\right)\text{cm}$