Dane:

$m=10\mathrm{g}=0,01\mathrm{kg}$

$l=40\mathrm{cm}=0,4\mathrm{m}$

$\alpha =60^{\circ }$

$g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Szukane:

$v=?$

$E_k=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości kulki podczas jej przechodzenia przez najniższe położenie, czyli w sytuacji, gdy szybkość ta jest maksymalna oraz wyznaczenie energii kinetycznej w tym położeniu. Przyjmijmy, że poziomem odniesienia o zerowej energii potencjalnej jest najniższe położenie kulki. Wówczas kulka odchylona o kąt $60^{\circ }$ ma wyłącznie energię potencjalną, a podczas przechodzenia przez najniższe położenie wyłącznie kinetyczną. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej możemy wówczas zapisać:

$E_p=E_k$

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna kulki przy maksymalnym wychyleniu,

$E_k$ - energia kinetyczna kulki przy przechodzeniu przez najniższe położenie.

Energię kinetyczną kulki zapiszemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa kulki.

$v$ - wartość prędkości kulki podczas przechodzenia przez najniższe położenie.

Energię potencjalną wyrazimy wzorem:

$E_p=mgh$

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość, na której znajduje się kulka względem najniższego położenie, kiedy jest wychylona o kąt $60^{\circ }$.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na wartość prędkości kulki w najniższym położeniu:

$E_p=E_k$

$mgh=\frac{m{v}^2}{2}|\cdot 2$

$2mgh=m{v}^2|:m$

$2gh=v^2|\sqrt{}$

$v=\sqrt{2gh}$

Aby wyznaczyć wysokość, na jakiej początkowo znajduje się kulka wykonamy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$l$ - długość nici,

$\alpha$ - kąt, o jaki odchylono nić od pionu.

Na podstawie rysunku możemy zapisać:

$h=l-x$

Korzystając z funkcji cosinus zapisujemy:

$\cos \alpha =\frac{x}{l}|\cdot l$

$x=l\cos \alpha$

Wówczas:

$h=l-l\cos \alpha$

$h=l\left(1-\cos \alpha \right)$

Podstawiamy wyrażenie do wzoru na wartość prędkości:

$v=\sqrt{2gh}$

$v=\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$v=\sqrt{2\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,4\mathrm{m}\cdot \left(1-\cos 60^{\circ }\right)}=$

$=\sqrt{8\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \left(1-0,5\right)}=\sqrt{4\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Energię kinetyczną kulki wyrazimy wówczas jako:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

$E_k=\frac{m{\left(\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}\right)}^2}{2}$

$E_k=\frac{m\cdot 2gl\left(1-\cos \alpha \right)}{2}$

$E_k=mgl\left(1-\cos \alpha \right)$

Wstawiamy dane liczbowe:

$E_k=0,01\mathrm{kg}\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,4\mathrm{m}\cdot \left(1-\cos 60^{\circ }\right)=$

$=0,01\mathrm{kg}\cdot 4\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \left(1-0,5\right)=$

$=0,01\mathrm{kg}\cdot 2\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}=0,02\mathrm{J}$

Odpowiedź: Maksymalna prędkość kulki w czasie przechodzenia przez najniższe położenie ma wartość $2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, a jej energia kinetyczna wynosi wówczas $0,02\mathrm{J}$.