Wkopany w ziemię drewniany słup podtrzymujący przewody linii...- Zadanie 5.2.4.: NOWE Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$h = 7 m$

$l = 20 cm = 0, 2 m$

$m = 900 kg$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szukane:

$W = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie pracy wykonanej przez siłę naciągu liny, która działa na drewniany słup, gdy słup ustawiony pionowo jest kładziony na ziemi poziomo. Zauważmy, że położenie środka ciężkości słupa zmienia się, zatem jego całkowita energia mechaniczna również powinna się zmieniać. Wiemy, że całkowita energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej:

$E_{c} = E_{k} + E_{p}$

gdzie:

$E_{c}$ - całkowita energia ciała,

$E_{k}$ - energia kinetyczna,

$E_{p}$ - energia potencjalna.

Możemy przyjąć, że w trakcie procesu układania słupa na ziemi, słup był kładziony ruchem jednostajnym, czyli ze stałą prędkością. Wówczas, zmiana jego energii kinetycznej jest zerowa:

$Δ E_{k} = 0$

Skoro środek ciężkości słupa zmienia swoje położenie względem powierzchni ziemi oraz przyjmujemy, że zmiana energii kinetycznej jest równa zero, to zmienia się energia potencjalna ciała $Δ E_{p}$ . Energię potencjalną ciała, w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy, przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{p} = m g h$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Natomiast zmiana energii potencjalnej jest równa różnicy energii potencjalnej ciała na początku i na końcu omawianego ruchu:

$Δ E_{p} = E_{p .2} - E_{p .1}$

gdzie:

$Δ E$ - zmiana energii potencjalnej,

$E_{p .2}$ - energia potencjalna ciała na końcu ruchu,

$E_{p .1}$ - energia potencjalna ciała na końcu ruchu.

Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem odpowiednich wielkości:

gdzie:

$h$ - długość słupa,

$l$ - szerokość słupa,

$h_{1}$ - wysokość położenia środka ciężkości słupa względem podłoża przed położeniem go na ziemi,

$h_{2}$ - wysokość położenia środka ciężkości słupa względem podłoża po położeniu go na ziemi.

Z rysunku odczytamy:

$h_{1} = \frac{1}{2} h$

$h_{2} = \frac{1}{2} l$

Wówczas zapiszemy:

▶ Wzór na energię potencjalną słupa przed jego położeniem:

$E_{p .1} = m g h_{1}$

$E_{p .1} = m g \frac{1}{2} h$

$E_{p .1} = \frac{1}{2} m g h$

▶ Wzór na energię potencjalną słupa po jego położeniu:

$E_{p .2} = m g h_{2}$

$E_{p .2} = m g \frac{1}{2} l$

$E_{p .2} = \frac{1}{2} m g l$

Korzystając z powyższych wielkości, możemy zapisać, że wzór na zmianę energii potencjalnej przyjmuję postać:

$Δ E_{p} = E_{p .2} - E_{p .1}$

$Δ E_{p} = \frac{1}{2} m g l - \frac{1}{2} m g h$

$Δ E_{p} = \frac{1}{2} m g (l - h)$

Zauważmy, że w wyrażeniu na energię potencjalną mamy różnicę szerokości słupa i jego długości. Różnica ta będzie ujemna, a wówczas również energia potencjalna będzie ujemna. Interpretacją tego jest fakt, że słup "oddaje" energię potencjalną, gdyż przechodzi na "niższy poziom energetyczny" bliżej ziemi. Jeżeli przyjmiemy, że praca wykonana przez siłę naciągu nici jest równa zmianie energii potencjalnej, to będzie błędne. Zastanówmy się teraz dlaczego.

Na słup działa siła ciężkości zwrócona pionowo w dół, która ciągnie ten słup do dołu. Jednak my założyliśmy, że słup opada jednostajnie (bez przyspieszenia), zatem siła naciągu liny musi równoważyć (chociaż część, bo równoważy w trakcie opadania jedną ze składowych siły ciężkości) część ciężaru słupa. A skoro równoważy siłę ciężkości, to wykonuje dodatnią pracę. Interesuje nas wartość tej wykonanej pracy, więc możemy przyjąć, że praca jest równa zmianie energii potencjalnej za znakiem minus albo, że praca jest równa wartości bezwzględnej zmiany energii potencjalnej:

$W = ∣ Δ E_{p} ∣$