Uwaga! Podana w zbiorze zadań odpowiedź różni się od odpowiedzi otrzymanej w poniższym opracowaniu. Wynika to z przyjętego założenia wartości przyspieszenia ziemskiego, które nie zostało podane w treści zadania.

Dane:

$m=40\text{kg}$

$F=300\text{N}$

$\alpha =90^{\circ }$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$a=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości przyspieszenia, z jakim worek z kamieniami jest podnoszony pionowo w górę.

Jeżeli worek jest podnoszony z przyspieszeniem, to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, na worek działa niezerowa wypadkowa siła. Wówczas wartość przyspieszenia opisuje wzór:

$a=\frac{F_{\text{wyp.}}}{m}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej, która działa na ciało,

$m$ - masa ciała.

Przejdźmy teraz do rozważenia sił, które działają na worek z kamieniami.

Na każde ciało znajdujące się w jednorodnym polu grawitacyjnym działa siła ciężkości ${\vec{F}}_g$, która zwrócona jest pionowo w dół. Wykonajmy rysunek pomocniczy i narysujmy wektor siły ciężkości.

Zauważmy, że po lewej i prawej stronie ciągnięte są liny z siłą $\vec{F}$. Liny te są połączone z workiem z kamieniami, zatem na worek z kamieniami działają siły ${\vec{F}}^{\prime }$, które zwrócone są wzdłuż liny, a ich wartość tych sił jest równa wartości sił $\vec{F}$:

$F^{\prime }=F$

Siły ${\vec{F}}^{\prime }$, korzystając z metody równoległoboku, możemy złożyć te dwie siły w siłę wypadkową ${\vec{F}}_{\text{w}}$. 

Ostatecznie wyciągamy wniosek, że na worek z kamieniami działają dwie siły:

• siła ${\vec{F}}_{\text{w}}$ zwrócona pionowo w górę,
• siła ${\vec{F}}_g$ zwrócona pionowo w dół.

Worek z kamieniami, zgodnie z treścią zadania, jest podnoszony w górę, zatem wartość siły ${\vec{F}}_{\text{w}}$ jest większa w porównaniu do wartości siły ${\vec{F}}_g$. Zapiszemy więc, że wartość siły wypadkowej ${\vec{F}}_{\text{wyp.}}$ działającej na worek z kamieniami opisuje wzór:

$F_{\text{wyp.}}=F_{\text{w}}-F_g$

Wartość siły ciężkości opisuje wzór:

$F_g=mg$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zwróćmy uwagę na rysunek:

Korzystając z rysunku oraz z funkcji trygonometrycznych, mamy:

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{1}{2}{F}_{\text{w}}}{F^{\prime }}$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{F_{\text{w}}}{2F^{\prime }}$

Przekształcamy powyższy wzór:

$\frac{F_{\text{w}}}{2F^{\prime }}=\cos \frac{\alpha }{2}|\cdot 2F^{\prime }$

$F_{\text{w}}=2F^{\prime }\cos \frac{\alpha }{2}$

$F_{\text{w}}=2F\cos \frac{\alpha }{2}$

Wówczas:

$F_{\text{wyp.}}=F_{\text{w}}-F_g$

$F_{\text{wyp.}}=2F\cos \frac{\alpha }{2}-mg$

Wracamy do wzoru na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{F_{\text{wyp.}}}{m}$

$a=\frac{2F\cos \frac{\alpha }{2}-mg}{m}$

$a=\frac{2F\cos \frac{\alpha }{2}}{m}-\frac{\cancel{m}g}{\cancel{m}}$

$a=2\frac{F}{m}\cos \frac{\alpha }{2}-g$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$a=2\cdot \frac{30\cancel{0}\text{N}}{4\cancel{0}\text{kg}}\cdot \cos \frac{90^{\circ }}{2}-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=\cancel{2}\cdot \frac{30\xcancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{{\cancel{4}}^2\xcancel{\text{kg}}}\cdot \cos 45^{\circ }-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=\frac{30}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$\approx \frac{30\cdot 1,41}{2\cdot 2}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=\frac{42,3}{4}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=10,575\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=0,575\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 0,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia wynosi około $0,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.