Dwa klocki o masach: m₁ = 600 g, m₂ = 400 g zostały połączone...- Zadanie 4.2.1.: NOWE Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m_{1} = 600 g = 0, 6 kg$

$m_{2} = 400 g = 0, 4 kg$

$F_{1} = 4, 5 N$

$F_{2} = 1, 5 N$

Szukane:

$F_{N} = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości siły naprężenia linki między klockami. W treści zadania mamy podane, że układ dwóch klocków działają dwie siły:

▶ siła $F_{1}$ skierowana w prawo, działająca na klocek o masie $m_{1}$ ,

▶ siła $F_{2}$ skierowana w lewo, działająca na klocek o masie $m_{2}$ .

Klocki są połączone ze sobą liną. Wówczas, na poruszające się klocki działają również siły naprężenia liny:

▶ siła $F_{n_{1}}$ , czyli siła z jaką klocek o masie $m_{1}$ ciągnie klocek o masie $m_{2}$ ,

▶ siła $F_{n_{2}}$ , czyli siła z jaką klocek o masie $m_{2}$ ciągnie klocek o masie $m_{1}$ .

Zauważmy, że zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, wartości tych sił są sobie równe:

$F_{n_{1}} = F_{n_{2}}$

Oznacza to, że długości wektorów tych sił są sobie równe. Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem wektorów sił.

Z rysunku odczytujemy, że na klocek o masie $m_{1}$ działają dwie siły ( $F_{1}$ , $F_{n_{2}}$ ) o tym samym kierunku, ale o przeciwnych zwrotach. Wyciągamy więc wniosek, że na klocek $m_{1}$ działa siła wypadkowa $F_{w_{1}}$ , której wartość opisuje wzór:

$F_{w_{1}} = F_{1} - F_{n_{2}}$

Z drugiej strony, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, skoro na klocek działa niezerowa wypadkowa siła, to klocek porusza się ruchem zmiennym. Wartość przyspieszenia opisuje wzór:

$a = \frac{F _{wyp.}}{m}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$F_{wyp.}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała.

W przypadku klocka o masie $m_{1}$ wzór ten przyjmuję postać:

$a_{1} = \frac{F _{w_{1}}}{m _{1}}$

$a_{1} = \frac{F _{1} - F _{n_{2}}}{m _{1}} ∣ \cdot m_{1}$

$a_{1} m_{1} = F_{1} - F_{n_{2}}$

Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla klocka o masie $m_{2}$ . Działa na niego siła wypadkowa będąca złożeniem sił $F_{n_{1}}$ i $F_{2}$ . Wartość siły wypadkowej opisuje wzór:

$F_{w_{2}} = F_{n_{1}} - F_{2}$

Wówczas, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, otrzymamy:

$a_{2} = \frac{F _{w_{2}}}{m _{2}}$

$a_{2} = \frac{F _{n_{1}} - F _{2}}{m _{2}} ∣ \cdot m_{2}$

$a_{2} m_{2} = F_{n_{1}} - F_{2}$

Zauważmy, że otrzymaliśmy układ dwóch równań:

${a_{1} m_{1} = F_{1} - F_{n_{2}} a_{2} m_{2} = F_{n_{1}} - F_{2}$

Klocki są ze sobą połączone liną, zatem wartość przyspieszenia każdego z nich jest taka sama:

$a_{1} = a_{2} = a$

Wówczas:

${a m_{1} = F_{1} - F_{n_{2}} a m_{2} = F_{n_{1}} - F_{2}$

Dodajemy do siebie stronami oba równania:

$a m_{1} + a m_{2} = F_{1} - F_{n_{2}} + F_{n_{1}} - F_{2}$

W poprzednich rozważaniach powiedzieliśmy, zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, że siły naprężenia lin mają tę samą wartość:

$F_{n_{1}} = F_{n_{2}}$

Wówczas:

$a m_{1} + a m_{2} = F_{1} - F_{n_{2}} + F_{n_{1}} - F_{2}$

$a (m_{1} + m_{2}) = F_{1} - F_{2} ∣ : m_{1} + m_{2}$

$a = \frac{F _{1} - F _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

Teraz przechodzimy do wyznaczenia wartości siły naprężenia liny między klockami, czyli wartości siły $F_{n_{1}}$ lub $F_{n_{2}}$ (niezależnie, którą z nich wyznaczymy, ponieważ obie są sobie równe).

Wybieramy jedno z równań, przykładowo:

$a m_{1} = F_{1} - F_{n_{2}}$

Przekształcamy powyższe równanie, tak aby otrzymać wzór na $F_{n_{2}}$ :

$a m_{1} = F_{1} - F_{n_{2}} ∣ + F_{n_{2}}$

$F_{n_{2}} + a m_{1} = F_{1} ∣ - a m_{1}$

$F_{n_{2}} = F_{1} - a m_{1}$

Podstawiamy wyznaczony wcześniej wzór na wartość przyspieszenia:

$F_{n_{2}} = F_{1} - \frac{F _{1} - F _{2}}{m _{1} + m _{2}} m_{1}$

$F_{n_{2}} = F_{1} \frac{m _{1} + m _{2}}{m _{1} + m _{2}} - \frac{F _{1} - F _{2}}{m _{1} + m _{2}} m_{1}$

$F_{n_{2}} = \frac{F _{1} ( m _{1} + m _{2} )}{m _{1} + m _{2}} - \frac{( F _{1} - F _{2} ) m _{1}}{m _{1} + m _{2}}$

$F_{n_{2}} = \frac{F _{1} ( m _{1} + m _{2} ) - m _{1} ( F _{1} - F _{2} )}{m _{1} + m _{2}}$

$F_{n_{2}} = \frac{F _{1} m _{1} + F _{1} m _{2} - m _{1} F _{1} + m _{1} F _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

$F_{n_{2}} = \frac{F _{1} m _{2} + F _{2} m _{1}}{m _{1} + m _{2}}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$F_{n_{2}} = \frac{4 , 5 N \cdot 0 , 4 kg + 1 , 5 N \cdot 0 , 6 kg}{0 , 4 kg + 0 , 6 kg} =$

$F_{n_{2}} = \frac{4 , 5 \cdot 0 , 4 N \cdot kg + 1 , 5 \cdot 0 , 6 N \cdot kg}{1 kg} =$

$F_{n_{2}} = \frac{1 , 8 N \cdot kg + 0 , 9 N \cdot kg}{1 kg} =$

$F_{n_{2}} = \frac{2 , 7 N \cdot kg}{1 kg} = 2, 7 N$

Teraz przechodzimy do narysowania wektorów sił $F_{n_{1}}$ i $F_{n_{2}}$ . Mamy zachować skalę rysunku, zatem najpierw odczytujemy jaką długość na rysunku ma wektor siły $F_{1}$ :

$x_{F_{1}} = 2, 7 cm$

Chcemy wyznaczyć, jaką wartość ma siła, której wektor na rysunku ma długości $1 cm$ . Korzystając z metody proporcji, zapiszemy:

$2, 7 cm ——- 4, 5 N$

$1 cm ——- F$

Mnożymy na krzyż:

$2, 7 cm \cdot F = 1 cm \cdot 4, 5 N ∣ : 2, 7 cm$

$F = \frac{1 cm}{2 , 7 cm} \cdot 4, 5 N =$

$F = \frac{4 , 5}{2 , 7} N \approx 1, 67 N$

Wyciągamy wniosek, że wektor o długości $1 cm$ na rysunku ma wartość równą około $1, 67 N$ . Korzystając z metody proporcji, wyznaczymy długość wektorów $F_{n_{1}}$ i $F_{n_{2}}$ . Długości tych wektorów będą takie same, ponieważ ich wartości są takie same. Zapiszemy: