Na prostoliniowym torze treningowym dwa pojazdy...- Zadanie 3.3.11.: NOWE Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Uzasadnienie:

Z wykresu odczytujemy, że wartość prędkości pojazdu 1 oraz pojazdu 2 jest linią prostą. Inaczej mówiąc, wartość prędkości pojazdu jest wprost proporcjonalna do czasu. Oznacza to, że każdy z pojazdów porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z pewną prędkością początkową. Różne nachylenia prostych oznaczają, że pojazdy poruszają się z innymi przyspieszeniami. W ogólności wartość prędkości ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym opisuje wzór:

$v = v_{p} + a t$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości ciała po czasie $t$ ,

$v_{p}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia,

$t$ - czas ruchu ciała.

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Zmianę szybkości ciała opiszemy wzorem:

$Δ v = v_{2} - v_{1}$

gdzie:

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$v_{2}$ - wartość prędkości ciała w chwili $t_{2}$ ,

$v_{1}$ - wartość prędkości ciała w chwili $t_{1}$ .

Czas, w jakim zmienia się szybkość opisuje wzór:

$Δ t = t_{2} - t_{1}$

Wówczas wzór na wartość przyspieszenia przyjmie postać:

$a = \frac{v _{2} - v _{1}}{t _{2} - t _{1}}$

gdzie $t_{2} > t_{1}$ .

Skupmy się teraz na wyznaczeniu formuły matematycznej wartości prędkości dla każdego z pojazdów oddzielnie.

Wzór na wartość prędkości pojazdu 1

Z wykresu odczytujemy wartość prędkości początkowej pojazdu 1:

$v_{p .1} = 5 \frac{m}{s}$

Do wyznaczenia wartości przyspieszenia również posłużymy się wykresem. Odczytujemy dwa punkty z wykresu zależności prędkości od czasu dla pojazdu 1:

▶ punkt 1

$t_{1} = 0 s$

$v_{1} = 5 \frac{m}{s}$

▶ punkt 2

$t_{2} = 5 s$

$v_{2} = 20 \frac{m}{s}$

Wówczas:

$a_{1} = \frac{20 \frac{m}{s} - 5 \frac{m}{s}}{5 s - 0 s} =$

$= \frac{15 \frac{m}{s}}{5 s} = 3 \frac{m}{s ^{2}}$

Wzór na wartość prędkości pojazdu 1 przyjmie postać (pomijamy jednostki):

$v_{1} (t) = v_{p .1} + a_{1} t$

$v_{1} (t) = 5 + 3 t$

Wzór na wartość prędkości pojazdu 2

Z wykresu odczytujemy wartość prędkości początkowej pojazdu 2:

$v_{p .2} = 15 \frac{m}{s}$

Do wyznaczenia wartości przyspieszenia również posłużymy się wykresem. Odczytujemy dwa punkty z wykresu zależności prędkości od czasu dla pojazdu 2:

▶ punkt 1

$t_{1} = 0 s$

$v_{1} = 15 \frac{m}{s}$

▶ punkt 2

$t_{2} = 5 s$

$v_{2} = 25 \frac{m}{s}$

Wówczas:

$a_{2} = \frac{25 \frac{m}{s} - 15 \frac{m}{s}}{5 s - 0 s} =$

$= \frac{10 \frac{m}{s}}{5 s} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Wzór na wartość prędkości pojazdu 2 przyjmie postać (pomijamy jednostki):

$v_{2} (t) = v_{p .2} + a_{2} t$

$v_{2} (t) = 15 + 2 t$

Posługując się formułami matematycznymi na wartości prędkości każdego z pojazdu możemy wyznaczyć formułę matematyczną opisującą względną wartość prędkości. Zauważmy, że skoro pojazdy poruszają się w tą samą stronę to wartość prędkości względnej pojazdów w chwili $t$ będzie różnicą wartości prędkości pojazdu 2 i pojazdu 1:

$v_{wzg.} (t) = v_{2} (t) - v_{1} (t)$

$v_{wzg.} (t) = v_{p .2} + a_{2} t - (v_{p .1} + a_{1} t)$

$v_{wzg.} (t) = v_{p .2} + a_{2} t - v_{p .1} - a_{1} t$

$v_{wzg.} (t) = v_{p .2} - v_{p .1} + (a_{2} - a_{1}) t$

Wprowadzamy dane:

$v_{wzg.} (t) = 15 - 5 + (2 - 3) t$

$v_{wzg.} (t) = 10 + (- 1) t$

$v_{wzg.} (t) = 10 - t$

Widzimy, że zależność ta jest wprost proporcjonalna do czasu, czyli na wykresie zależność ta będzie linią prostą. Teraz przejdźmy do narysowania wykresu tej funkcji.

Wykres zależności wartości prędkości względnej pojazdów od czasu

Oznaczamy odpowiednie zakresy oraz nanieśmy opisy na osiach:

Następnie musimy nanieść chociaż dwa punkty. Przykładowo dla chwili $t = 0$ mamy:

$v_{wzg .} (0) = 10 - 0 = 10$

Natomiast dla chwili $t = 5 s$ mamy:

$v_{wzg.} (5) = 10 - 5 = 5$

Nanosimy na wykres dwa punkty:

Poprowadzamy prostą przechodzącą naniesione dwa punkty:

Interesuje nas jednak jedynie zakres dodatnich wartości prędkości, zatem szukanym wykresem zależności prędkości względnej pojazdów od czasu ma postać:

Odpowiedź:

Korzystając z wykresu oraz ze wzoru na wartość prędkości ciała ruchu jednostajnie przyspieszonym zapisujemy formułę matematyczną na wartość prędkości względnej pojazdów:

$v_{wzg.} (t) = 10 - t$

gdzie wartość prędkości jest dana w ^m/_s, a czas w s. Rysujemy również wykres zależności wartości prędkości względnej pojazdów od czasu:

$b)$

Szukane:

$d = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie odległości między pojazdami, gdy zaczął się pościg. Przyjmujemy, że pościg zaczął się w chwili $t$ . Natomiast czas całego pościgu, czyli czas w jakim pojazd 1 doścignął pojazd 2 jest równy czasu wyrównania prędkości pojazdu 1 z pojazdem 2. Inaczej mówiąc, szukamy chwili od rozpoczęcia pościgu, w której wartość prędkości względnej wynosiła zero:

$v_{wzg.} (t_{x}) = 0$

Zapisujemy:

$v_{wzg .} (t_{x}) = 10 - t_{x}$

$0 = 10 - t_{x} ∣ + t_{x}$

$t_{x} = 10$

Wyciągamy więc wniosek, że pojazd 1 zrówna się (dogoni) pojazd 2 po 10 sekundach ruchu.

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania!

Pamiętajmy, że ogólna formuła matematyczna na wartość prędkości względnej pojazdów ma postać:

$v_{wzg.} (t) = v_{p .2} - v_{p .1} + (a_{2} - a_{1}) t$

Wówczas wyznaczając czas $t_{x}$ dla, którego $v_{wzg.} (t_{x}) = 0$ otrzymamy:

$0 = v_{p .2} - v_{p .1} + (a_{2} - a_{1}) t_{x} ∣ - v_{p .2} + v_{p .1}$

$- v_{p .2} + v_{p .1} = (a_{2} - a_{1}) t_{x} ∣ : (a_{2} - a_{1})$

$\frac{v _{p .1} - v _{p .2}}{a _{2} - a _{1}} = t_{x}$

$t_{x} = \frac{v _{p .1} - v _{p .2}}{a _{2} - a _{1}}$

Po wprowadzeniu danych otrzymamy:

$t_{x} = \frac{5 \frac{m}{s} - 15 \frac{m}{s}}{2 \frac{m}{s ^{2}} - 3 \frac{m}{s ^{2}}} =$

$= \frac{- 10 \frac{m}{s}}{- 1 \frac{m}{s ^{2}}} = 10 \frac{m}{s} \cdot \frac{s ^{2^{1}}}{m} = 10 s$

Widzimy więc, że zarówno wynik jak i jednostka się zgadza.

Wówczas odległość początkowa między pojazdami jest równa polu powierzchni pod wykresem zależności wartości prędkości względnej od czasu. Zauważmy, że pole pod wykres zależności wartości prędkości względnej od czasu ma kształt trójkąta prostokątnego, którego pole opisuje wzór:

$P = \frac{1}{2} a b$