Dane:

$r=35800\mathrm{km}=35,8\cdot 10^6\mathrm{m}$

Z tabeli 2 ze strony 246 podręcznika odczytujemy masę oraz długość średnicy Ziemi:

$M_Z=5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$

$d_Z=12756\mathrm{km}=12756000\mathrm{m}=12,756\cdot 10^6\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Wartość prędkości satelity okrążającego Ziemię obliczamy korzystając z wzoru:

$v=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{R}}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości satelity,

$G$  - stała grawitacji,

$M_Z$  - masa Ziemi,

$R$  - odległość satelity od środka planety, czyli promień orbity.

W naszym przypadku promień orbity jest równy sumie promienia Ziemi $R_Z$ oraz odległości satelity od powierzchni Ziemi:

$R=R_Z+r$

gdzie:

$R_Z$ - promień Ziemi,

$r$ - odległość satelity od powierzchni Ziemi.

Zauważmy, że promień Ziemi jest równy połowie średnicy, zapisujemy więc:

$R_Z=\frac{d_Z}{2}$

gdzie:

$d_Z$ - średnica Ziemi.

Wówczas:

$R=\frac{d_Z}{2}+r$

Zatem wzór na wartość prędkości satelity przyjmuje postać:

$v=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{R}}$

$v=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{\frac{d_Z}{2}+r}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$v=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}\cdot 5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}}{\frac{12,756\cdot 10^6\mathrm{m}}{2}+35,8\cdot 10^6\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}\cdot \mathrm{kg}}{\frac{12,756\cdot 10^6}{2}\mathrm{m}+35,8\cdot 10^6\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{\frac{6,67\cdot 5,97\cdot 10^{-11}\cdot 10^{24}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\cancel{2}}}\cdot \cancel{\mathrm{kg}}}{6,378\cdot 10^6\mathrm{m}+35,8\cdot 10^6\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{\frac{39,8199\cdot 10^{13}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{kg}}}{42,178\cdot 10^6\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{\frac{39,8199}{42,178}\cdot \frac{10^{13}}{10^6}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{kg}}}{\mathrm{m}}}=$

$\approx \sqrt{0,9441\cdot 10^7\frac{\cancel{\mathrm{kg}}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\cancel{\mathrm{kg}}}}{\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{9,441\cdot 10^6\frac{\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{m}}}=$

$=\sqrt{9,441}\cdot \sqrt{10^6}\sqrt{\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}}=$

$\approx 3,073\cdot 10^3\sqrt{\frac{{\mathrm{m}}^{{\cancel{3}}^2}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{1}{\cancel{\mathrm{m}}}}=$

$=3073\sqrt{\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=3073\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Zamieniamy jednostkę z metrów na sekundę na kilometry na sekundę:

$v=3073\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=3,073\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}\approx 3,1\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Satelita porusza się z prędkością równą około 3,1 ^km/_s.

UWAGA: W odpowiedziach podano nieprawidłową jednostkę - podana wartość wyrażona jest w kilometrach na sekundę, a nie na godzinę.

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Okres obiegu satelity geostacjonarnego wokół Ziemi jest równy okresowi obrotu Ziemi. Dzięki temu satelita pozostaje nad tym samym punktem na równiku i porusza się z taką samą prędkością kątową, jak Ziemia. Taki ruch jest kluczowy dla zapewnienia stałej łączności, np. w telewizji satelitarnej czy komunikacji satelitarnej.

 Odpowiedź: 

Okres obiegu satelity wokół Ziemi wynosi 24 h.