Dane:

$V_1=20\text{ml}=0,02\text{l}=0,02{\text{dm}}^3=2\cdot {10}^{-2}{\text{dm}}^3=2\cdot {10}^{-5}{\text{m}}^3$  

$V_2=9\text{ml}=0,009\text{l}=0,009{\text{dm}}^3=9\cdot {10}^{-3}{\text{dm}}^3=9\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^3$  

$p_{at}=99000\text{Pa}=99\cdot {10}^3\text{Pa}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$,

▶ gęstość wody: $d_w=1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$,

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$.

 

$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zdaniem jest uzupełnienie tabeli, zapisując odpowiednie wyniki. Do uzupełnienia pozostaje nam temperatura wyrażona w Kelwinach, ciśnienie słupa wody oraz ciśnienie powietrza w strzykawce. Wykonajmy poszczególne obliczenia:

▶ Temperatura

Zamieńmy temperaturę w stopniach Celsjusza na Kelwiny:

$T_1=\left(28,5+273\right)\text{K}=301,5\text{K}$  

$T_2=\left(30+273\right)\text{K}=303\text{K}$  

$T_3=\left(33+273\right)\text{K}=306\text{K}$  

$T_4=\left(36+273\right)\text{K}=309\text{K}$  

$T_5=\left(38,5+273\right)\text{K}=311,5\text{K}$  

$T_6=\left(42+273\right)\text{K}=315\text{K}$  

 ▶ Ciśnienie słupa wody

Ciśnienie słupa wody jest ciśnieniem hydrostatycznym. Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$ 

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne, 

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

W naszym przypadku ciśnienie to obliczymy:

$p_h=dg\Delta h$

gdzie:

$p_h$ - ciśnienie hydrostatyczne słupa cieczy,

$d$ - gęstość wody,

$\Delta h$ - różnica poziomów wody w wężyku.

Wyznaczmy ciśnienia dla kolejnych różnic wysokości słupa cieczy wody:

$\Delta h_1=14\text{cm}=0,14\text{m}$  

$p_{h1}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\frac{}{{}^{}}\cdot 0,14\text{m}=1373,4\text{Pa}$  

$\Delta h_2=20\text{cm}=0,2\text{m}$  

$p_{h2}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,2\text{m}=1962\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=1962\text{Pa}$  

$\Delta h_3=31\text{cm}=0,31\text{m}$  

$p_{h3}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,31\text{m}=3041,1\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=3041,1\text{Pa}$  

$\Delta h{}_4=40\text{cm}=0,4\text{m}$  

$p_{h4}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,36\text{m}=3924\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=3924\text{Pa}$  

$\Delta h_5=49\text{cm}=0,49\text{m}$  

$p_{h5}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,49\text{m}=4806,9\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=4806,9\text{Pa}$  

$\Delta h_6=60\text{cm}=0,6\text{m}$  

$p_{h6}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,6\text{m}=5886\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=5886\text{Pa}$  

 ▶ Ciśnienie powietrza w strzykawce

Ciśnienie powietrza w strzykawce jest sumą ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia słupa wody:

$p=p_{at}+p_h$  

Wówczas dla poszczególnych przypadków otrzymujemy:

$p_1=99000\text{Pa}+1373,4\text{Pa}=100373,4\text{Pa}\approx 100,4\text{kPa}$  

$p_2=99000\text{Pa}+1962\text{Pa}=100962\text{Pa}\approx 101,0\text{kPa}$   

$p_3=99000\text{Pa}+3041,1\text{Pa}=102041,1\text{Pa}\approx 102,0\text{kPa}$  

$p_4=99000\text{Pa}+3924\text{Pa}=102924\text{Pa}\approx 102,9\text{kPa}$     

$p_5=99000\text{Pa}+4806,9\text{Pa}=103806,9\text{Pa}\approx 103,8\text{kPa}$  

$p_6=99000\text{Pa}+5886\text{Pa}=104886\text{Pa}\approx 104,9\text{kPa}$   

 Odpowiedź: 

Uzupełniamy tabelę:

$T\left[{}^{\circ }\text{C}\right]$	$28,5$	$30$	$33$	$36$	$38,5$	$42$
$T\left[\text{K}\right]$	$301,5$	$303$	$306$	$309$	$311,5$	$315$
$\Delta h\left[\text{cm}\right]$	$14$	$20$	$31$	$40$	$49$	$60$
$p_h\left[\text{kPa}\right]$	$1,373$	$1,962$	$3,041$	$3,924$	$4,807$	$5,886$
$p\left[\text{kPa}\right]$	$100,4$	$101,0$	$102,0$	$102,9$	$103,8$	$104,9$

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności ciśnienia powietrza panującego w zbiorniczku strzykawki, od temperatury wyrażonej w Kelwinach. W zadaniu podane mamy niepewności pomiarowe. Niepewność pomiarowa temperatury została wyrażona w stopniach Celsjusza, naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności od temperatury wyrażonej w Kelwinach, dlatego należy przyjąć, że niepewność ta pozostaje taka sama po przeliczeniu na skalę Kelvina, ponieważ przesunięcie zerowej wartości skali nie wpływa na różnicę temperatur.

$\Delta T={0,5}^{\circ }\text{C}\Rightarrow \Delta T=0,5\text{K}$  

Niepewność pomiarowa pomiaru wysokości słupa wody w zbiorniczku wynosi $\Delta h=2\text{mm}=2\cdot 10^{-3}\text{m}$, wyznaczmy niepewność ciśnienia hydrostatycznego powietrza. Ciśnienie słupa wody jest ciśnieniem hydrostatycznym. Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$ 

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne, 

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

W naszym przypadku niepewność ciśnienia hydrostatycznego wyznaczymy:

$\Delta p=dg\Delta h$

gdzie:

$\Delta p$ - niepewność ciśnienia powietrza panującego w zbiorniku,

$d$ - gęstość wody,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$\Delta h$ - niepewność pomiaru wysokości słupa wody w zbiorniczku.

$\Delta p=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 2\cdot 10^{-3}\text{m}=19,62\text{Pa}$

Sporządźmy wykres na papierze milimetrowym. Oś Y podpiszmy, jako ciśnienie powietrza panującego w zbiorniczku strzykawki  $p\left(\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\right)$. Oś X podpiszmy jako temperaturę $T\left(\text{K}\right)$. Osie wyskalujmy tak, aby wszystkie wartości przedstawione w tabeli zmieściły się na wykresie. Zatem nasz przygotowany układ przedstawimy:

Umieśćmy punkty z tabeli na wykresie:

Zaznaczmy niepewność pomiarową wartości ciśnienia powietrza w zbiorniczku strzykawki $\Delta p=19,62\text{Pa}$dla każdego pomiaru:

Zaznaczmy niepewność pomiarową temperatury $\Delta T=0,5\text{K}$ dla każdego pomiaru:

Wykreślmy dopasowaną linię trendu:

 Odpowiedź: 

Narysujmy wykres zależności ciśnienia powietrza panującego w zbiorniczku strzykawki, od temperatury wyrażonej w Kelwinach:

 

$\mathbf{c})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie liczby moli powietrza znajdujących się w strzykawce. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu, 

$V$ - objętość gazu, 

$n$ - liczba moli gazu, 

$R$ - stała gazowa, 

$T$ - temperatura gazu doskonałego. 

$pV=nRT|:RT$

$\frac{pV}{RT}=n$

$n=\frac{pV}{RT}$

Wyznaczmy liczbę moli gazu, dla danego gazu liczba jego moli jest stała, wówczas możemy ją wyznaczyć dla jednego konkretnego pomiaru. Korzystając z danych w tabeli w chwili gdy strzykawka została zanurzona, możemy odczytać, że:

$T=301,5\text{K},p=100,4\text{kPa}$  

Wówczas liczbę moli gazu znajdującego się w strzykawce obliczymy, korzystając z zależności:  

$n=\frac{p{V}_2}{RT}$    

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{100,4\text{kPa}\cdot 9\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^3}{8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 301,5\text{K}}=$  

$=\frac{1,004\cdot {10}^5\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\cdot 9\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^3}{2505,465\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=$

$=\frac{9,036\cdot {10}^{-1}\text{N}\cdot \text{m}}{2505,465\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\text{mol}}}=$

$=\frac{0,9036\text{N}\cdot \text{m}}{2505,465\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\text{mol}}}\approx 0,00036\text{mol}$

 Odpowiedź: 

Liczba moli powietrza w strzykawce wynosi $0,00036\text{moli}$.