$\text{a)}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ilorazu wartości pędów strzelby i pocisku$\frac{p_s}{p_p}$. Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Początkowo pocisk oraz strzelba spoczywały. Wówczas wartości ich pędu wynosiły zero.

$p_{s.0}=0$

gdzie:

$p_{s.0}$ - wartość początkowego pędu strzelby.

$p_{p.0}=0$

gdzie:

$p_{p.0}$ - wartość początkowego pędu strzelby.

Po wystrzeleniu pocisk będzie posiadał pewną wartość pędu $p_p$. Strzelba zostanie odrzucona, wówczas będzie poruszać się w przeciwnym kierunku do pocisku. Wówczas pęd strzelby będzie wynosił $-p_s$. Zapiszmy zasadę zachowania pędu:

$p_{s.0}+p_{p.0}=-p_s+p_p$

gdzie:

$p_s$ - wartość pędu strzelby po wstrzale,

$p_p$ - wartość pędu pocisku po wystrzale.

$0+0=-p_s+p_p|+p_s$  

$p_s=p_p|:p_p$  

Wówczas iloraz pędów będzie wynosić:

$\frac{p_s}{p_p}=1$  

 Odpowiedź: 

Iloraz wartości pędów strzelby i pocisku wynosi 1.

 

$\text{b)}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ilorazu wartości prędkości strzelby i pocisku $\frac{v_s}{v_p}$.  Z treści zadania wiemy, że masa strzelby jest $n$  razy większa od masy pocisku, czyli:

$m_s=n{m}_p$  

gdzie:

$m_s$  - masa strzelby, 

$m_p$  - masa pocisku.

Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Początkowo pocisk oraz strzelba spoczywały. Wówczas wartości ich pędu wynosiły zero.

$p_{s.0}=0$

gdzie:

$p_{s.0}$ - wartość początkowego pędu strzelby.

$p_{p.0}=0$

gdzie:

$p_{p.0}$ - wartość początkowego pędu strzelby.

Wartości pędu pocisku po wystrzale przedstawimy wzorem:

$p_p=m_p{v}_p$

gdzie:

$p_p$ - wartość pędu pocisku po wstrzale,

$v_p$ - wartość prędkości pocisku po wystrzale.

Strzelba zostanie odrzucona, wówczas będzie poruszać się w przeciwnym kierunku do pocisku. Wówczas pęd strzelby będzie wynosił:

$p_s=-m_s{v}_s$

gdzie:

$p_s$ - wartość pędu strzelby po wystrzale,

$v_s$ - wartość prędkości strzelby po wystrzale.

Korzystając z zasady zachowania pędu, wyznaczmy iloraz wartości prędkości:

$p_{s.0}+p_{p.0}=p_s+p_p$  

$0+0=-m_s{v}_s+m_p{v}_p|+m_s{v}_s$

$m_s{v}_s=m_p{v}_p|:m_s$

$v_s=\frac{m_p{v}_p}{m_s}|:v_p$

$\frac{v_s}{v_p}=\frac{m_p}{m_s}$

Podstawiając $m_s=n{m}_p$:

$\frac{v_s}{v_p}=\frac{\bcancel{m_p}}{n\bcancel{m_p}}$

$\frac{v_s}{v_p}=\frac{1}{n}$

 Odpowiedź:

Iloraz wartości prędkości strzelby i pocisku wynosi $\frac{1}{n}$.

 

$\text{c)}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ilorazu wartości energii kinetycznych strzelby i pocisku $\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}$. Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_{\text{k}}=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$E_{\text{k}}$  - energia kinetyczna ciała, 

$m$  - masa ciała, 

$v$  - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Oznacza to, że dla strzelby i pocisku otrzymamy:

$E_{k.s}=\frac{m_s{v}_s^2}{2}$

gdzie:

$E_{k.s}$ - energia kinetyczna strzelby po wystrzale,

$m_s$  - masa strzelby,

$v_s$ - wartość prędkości strzelby po wystrzale. 

$E_{k.p}=\frac{m_p{v}_p^2}{2}$  

gdzie:

$E_{k.p}$ - energia kinetyczna pocisku po wystrzale,

$m_p$ - masa pocisku,

$v_p$ - wartość prędkości pocisku.

Z treści zadania wiemy, że masa strzelby jest $n$  razy większa od masy pocisku, czyli:

$m_s=n{m}_p$  

Dla takiej zależności mas wyprowadziliśmy z poprzedniego podpunktu, że:

$\frac{v_s}{v_p}=\frac{1}{n}$  

Wówczas iloraz energii kinetycznych ma postać:

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\frac{\frac{m_s{v}_s^2}{2}}{\frac{m_p{v}_p^2}{2}}$  

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\frac{m_s{v}_s^2}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{2}}{m_p{v}_p^2}$  

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\frac{m_s{v}_s^2}{m_p{v}_p^2}$  

Podstawiając $m_s=n{m}_p$:

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\frac{n\bcancel{m_p}{v}_s^2}{\bcancel{m_p}{v}_p^2}$  

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=n\cdot \frac{v_s^2}{v_p^2}$

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=n\cdot {\left(\frac{v_s}{v_p}\right)}^2$

Podstawiając  $\frac{v_s}{v_p}=\frac{1}{n}$

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=n\cdot {\left(\frac{1}{n}\right)}^2$  

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\cancel{n}\cdot \frac{1}{n^{\cancel{2}}}$  

$\frac{E_{k.s}}{E_{k.p}}=\frac{1}{n}$  

 Odpowiedź: 

Iloraz energii kinetycznych strzelby i pocisku wynosi $\frac{1}{n}$.