Na ilustracji widzisz dwie...- Zadanie 2: Zrozumieć fizykę 4. Zakres rozszerzony. Wydanie 2024

Rozwiązanie

Naszym zadaniem jest określenie, która soczewka jest skupiająca, a która rozpraszająca. Aby odpowiedzieć na to pytanie określimy znaki zdolności skupiających tych soczewek. Jeżeli zdolność skupiająca jest dodatnia to mamy do czynienia z soczewką skupiającą, a jeżeli zdolność skupiająca jest ujemna to mamy do czynienia z soczewką rozpraszającą. Zdolność skupiającą soczewki możemy przedstawić jako odwrotność ogniskowej:

$Z = \frac{1}{f}$

gdzie:

$Z$ - zdolność skupiająca,

$f$ - ogniskowa.

Równanie soczewki znajdującej się w powietrzu ma postać:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnikiem załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka,

$r_{1}$ i $r_{2}$ - promienie krzywizny soczewki.

Oznacza to, że zdolność skupiającą soczewki przedstawimy wzorem:

$Z = (n - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

$A.$

Wykonajmy rysunek pomocniczy dla pierwszej soczewki:

Zauważmy, że soczewka jest soczewką wypukło - wklęsłą, przy czym promień wewnętrznej krzywizny jest większy niż promień zewnętrznej krzywizny:

$R_{1} > R_{2}$

Jeżeli soczewka jest z jednej strony wklęsła, promień opisujący tę krzywiznę zapisujemy ze znakiem minus. Z tego wynika, że mamy krzywizny $- R_{1}$ i $R_{2}$ .

Wówczas korzystając z równanie soczewki otrzymujemy, że zdolność skupiająca ma postać:

$Z = (n - 1) (\frac{1}{- R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

$Z = (n - 1) (- \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

$Z = (n - 1) (\frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}})$

Ponieważ $R_{1} > R_{2}$ to odwrotność tych wielkości spełnia zależność:

$\frac{1}{R _{1}} < \frac{1}{R _{2}}$

Wówczas odejmując stronami czynnik $\frac{1}{R _{1}}$ otrzymamy:

$\frac{1}{R _{1}} < \frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}}$

$0 < \frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}}$

Możemy następnie obustronnie pomnożyć przez czynnik $(n - 1)$ . Ponieważ $n$ jest zawsze większa lub równe 1 to znak nierówności nie będzie nam się zmieniał:

$0 < \frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}} ∣ \cdot (n - 1)$

$0 < (n - 1) (\frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}})$

Zatem mamy:

$0 < Z$

Oznacza to, że soczewka będzie soczewką skupiającą.

$B.$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że soczewka jest soczewką wypukło - wklęsłą, przy czym promień zewnętrznej krzywizny jest większy niż promień wewnętrznej krzywizny:

$R_{1} > R_{2}$

Przy czym w tym przypadku promienie krzywizn wynoszą $R_{1}$ i $- R_{2}$ . Wówczas korzystając z równania soczewki otrzymujemy, że:

$Z = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{- R _{2}})$

$Z = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$

Ponieważ $R_{1} > R_{2}$ to wówczas:

$\frac{1}{R _{1}} < \frac{1}{R _{2}} - \frac{1}{R _{1}}$

$0 < - \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

Z wcześniej zapisanego równania soczewki dla tego przypadku wynika, że znak minus mamy przed czynnikiem $\frac{1}{R _{2}}$ . Zatem wymnażamy naszą nierówność przez -1. Znak nierówności odwróci się wtedy: