W spoczywającej windzie na wadze sprężynowej położono jabłko. Działa na nie siła ciężkości o wartości $2\mathrm{N}$. Winda ma wjechać na dwudzieste piętro budynku. Przyspieszanie i hamowanie windy odbywa się ruchem jednostajnie przyspieszonym i opóźnionym z przyspieszeniem o wartości $2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ Podczas jazdy windą ruch jednostajny windy, z prędkością o wartości $10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, trwa $2\mathrm{s}$. Sporządź wykres zmian wskazań wagi na skutek ruchu windy od czasu. Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego równą $10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Dane:

$F_{\text{c}}=2\mathrm{N}$

$a=2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

$v=10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$\Delta t_{\text{j}}=2\mathrm{s}$

$g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Szukane:

$w\left(t\right)=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wskazanie wagi oznaczymy jako $w$. Waga mierzy wartość wywieranej na nią siły nacisku i dzieli ją przez wartość przyspieszenia ziemskiego. 

$w=\frac{F_{\text{N}}}{g}$

gdzie:

$w$ – wskazanie wagi

$F_{\text{N}}$ – wartość siły nacisku

$g$ – wartość przyspieszenia ziemskiego

 

Zatem zmiany wskazania wagi wynikają ze zmiany wartości siły nacisku między wagą i w tym przypadku ważonym jabłkiem.

 

1. Przyspieszanie windy:

Kiedy winda rozpoczyna swój ruch przyspiesza i rozpędza się. Wraz z windą ruchem jednostajnie przyspieszonym porusza się waga i jabłko.

Siła wypadkowa działająca na jabłko:

$F_{\text{w}}=F_{\text{N}}-F_{\text{c}}$

gdzie:

$F_{\text{w}}$ - wartość siły wypadkowej

$F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku

$F_{\text{c}}$ - wartość siły ciężkości

Stąd:

$F_{\text{N}}=F_{\text{w}}+F_{\text{c}}$

$F_{\text{N}}=ma+mg$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=m\frac{a}{g}+m$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=m\left(\frac{a}{g}+1\right)$

Wskazanie wagi podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego:

$w_{\text{p}}=m\left(\frac{a}{g}+1\right)$

 

2. Ruch jednostajny:

Po osiągnięciu przez windę zadanej prędkości zaczyna się ona poruszać ruchem jednostajnym.

Siły działające na jabłko równoważą się:

$F_{\text{N}}=F_{\text{c}}$

$F_{\text{N}}=mg$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=\frac{mg}{g}$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=m$

Wskazanie wagi podczas ruchu jednostajnego:

$w_{\text{j}}=m$

 

3. Hamowanie windy:

Kiedy winda kończy swój ruch hamuje i spowalnia, aż do zatrzymania. Wraz z windą ruchem jednostajnie opóźnionym porusza się waga i jabłko.

Siła wypadkowa działająca na jabłko:

$F_{\text{w}}=F_{\text{c}}-F_{\text{N}}$

$F_{\text{N}}=F_{\text{c}}-F_{\text{w}}$

$F_{\text{N}}=mg-ma$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=\frac{mg}{g}-\frac{ma}{g}$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=m-m\frac{a}{g}$

$\frac{F_{\text{N}}}{g}=m\left(1-\frac{a}{g}\right)$

Wskazanie wagi podczas ruchu jednostajnie opóźnionego:

$w_{\text{o}}=m\left(1-\frac{a}{g}\right)$

 

Zatem zmianę wskazania wagi od czasu możemy wyrazić jako:

$\text{w(t)=}\{\begin{array}{l}{w}_{\text{p}},\text{dla}t\in [0,t_{\text{p}}]\\ w_{\text{j}},\text{dla}t\in (t_{\text{p}},t_{\text{j}}]\\ w_{\text{o}},\text{dla}t\in (t_{\text{j}},t_{\text{o}}]\end{array}$

$\text{w(t)=}\{\begin{array}{l}m\left(\frac{a}{g}+1\right),\text{dla}t\in [0,t_{\text{p}}]\\ m,\text{dla}t\in (t_{\text{p}},t_{\text{j}}]\\ m\left(1-\frac{a}{g}\right),\text{dla}t\in (t_{\text{j}},t_{\text{o}}]\end{array}$

 

Siła ciężkości jabłka:

$F_{\text{c}}=mg$

Stąd:

$m=\frac{F_{\text{c}}}{g}$

$m=\frac{2\mathrm{N}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=0,2\mathrm{kg}$

 

$w_{\text{p}}=0,2\mathrm{kg}\cdot \left(\frac{2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}+1\right)=0,2\mathrm{kg}\cdot \left(0,2+1\right)=0,2\mathrm{kg}\cdot 1,2=0,24\mathrm{kg}$

$w_{\text{j}}=0,2\mathrm{kg}$

$w_{\text{o}}=0,2\mathrm{kg}\cdot \left(1-\frac{2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}\right)=0,2\mathrm{kg}\cdot \left(1-0,2\right)=0,2\mathrm{kg}\cdot 0,8=0,16\mathrm{kg}$

 

Wyznaczamy czasy w jakich winda przyspieszała, poruszała się ze stałą prędkością i hamowała.

 

1. Przyspieszanie windy:

Winda osiąga prędkość o wartości $10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

$v=a\left(t_{\text{p}}-0\right)$

$\frac{v}{a}=t_{\text{p}}-0$

$t_{\text{p}}=\frac{v}{a}$

$t_{\text{p}}=\frac{10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=5\mathrm{s}$

 

2. Ruch jednostajny:

$t_{\text{j}}=t_{\text{p}}+\Delta t_{\text{j}}$

$t_{\text{j}}=5\mathrm{s}+2\mathrm{s}=7\mathrm{s}$

 

3. Hamowanie windy:

Winda zatrzymuje się:

$0=v-a\left(t_{\text{o}}-t_{\text{j}}\right)$

$a\left(t_{\text{o}}-t_{\text{j}}\right)=v$

$t_{\text{o}}-t_{\text{j}}=\frac{v}{a}$

$t_{\text{o}}=\frac{v}{a}+t_{\text{j}}$

$t_{\text{o}}=\frac{10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}+7\mathrm{s}=5\mathrm{s}+7\mathrm{s}=12\mathrm{s}$

 

Zatem:

$\text{w(t)=}\{\begin{array}{l}0,24\mathrm{kg},\text{dla}t\in [0,5]\mathrm{s}\\ 0,2\mathrm{kg},\text{dla}t\in (5,7]\mathrm{s}\\ 0,16\mathrm{kg},\text{dla}t\in (7,12]\mathrm{s}\end{array}$